3. Имитационное моделирование

3.1. Условия примененияимитационного моделирования

Множество математических моделей можно разбить на три подмножества: аналитические, имитационные и комбинирован­ные (аналитико-имитационные) модели. Приведем сравнительный анализ двух первых видов моделей (комбинированные модели со­единяют в себе черты моделей первых двух видов).

Аналитической моделью (AM) называется совокуп­ность функциональных соотношений или логических условий, описывающих связи между параметрами, переменными и показа­телями эффективности системы S.

Область применения AM:

1) сравнительно простые системы;

2) системы, получаемые в результате упрощения (абстрагирования) реальных систем с целью изучения некоторых свойств системы.

Достоинства AM:

1) универсальность, высокая степень общности и значимо­сти результатов;

Недостатки AM:

1. чувствительность к степени сложности системы;

2. ряд допущений, приводящих к неадекватности модели реальной системе:

− замена реальных потоков событий при моделировании систем простейшими;

− использование в качестве дисциплины обслуживания заявок из очереди дисциплины FIFO.

3. при моделировании сетей создание АМ становится практически невозможным при числе узлов в сети больше трех;

4. при использовании АМ невозможно исследование поведения системы при изменении со временем характера и скорости протекания процессов.

Имитационной моделью (ИМ) системы называются машинные программы (или алгоритмы), позволяющие имитировать на ЭВМ поведение отдельных элементов системы и связей между ними в течение заданного времени моделирования. Иначе говоря, — это формальное (то есть выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наибо­лее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающее проведение статистических экспериментов.

Эксперименты на ЭВМ с имитационной моделью называются имитационными (вычислительными) экспериментами.

Отличительные особенности ИМ:

• при создании ИМ законы функционирования всей системы в целом могут быть неизвестны (достаточно знания алгоритмов, описывающих поведение отдельных элементов системы и связей между ними);

• в имитационной модели связи между параметрами и характеристиками системы выявляются, а значения исследуемых характеристик определяются в ходе имитационного эксперимента на ЭВМ.

Применение имитационного моделирования целесообразно в следующих случаях:

1. если не существует законченной постановки задачи на исследование и идет процесс познания объекта моделирования;

2. если характер протекающих в системе процессов не позволяет описать эти процессы в аналитической форме;

3. если необходимо наблюдать за поведением системы (или отдельных ее компонентов) в течение определенного периода, в том числе с изменением скорости протекания процессов;

4. при изучении новых ситуаций в системе либо при оценке функционирования ее в новых условиях;

5. если исследуемая система является элементом более сложной системы, другие элементы которой имеют реальное воплощение;

6. когда необходимо исследовать поведение системы при введении в нее новых компонентов;

7. при подготовке специалистов и освоении новой техники (в качестве тренажеров).

Область применения ИМ:

• широкий класс систем практически любой сложности.

Достоинства ИМ:

• часто единственно возможный метод исследования систем;

• возможность исследования системы на различных уровнях ее детализации, определяемых целью исследования;

— возможность исследования динамики взаимодействия элементов системы во времени и пространстве параметров системы;

— возможность оценивания характеристик системы в определенные моменты времени.

Недостатки ИМ:

— дороговизна: разработка хорошей ИМ часто обходится дороже создания AM и требует больших временных затрат;

— результаты имитационного моделирования обладают меньшей степенью общности по сравнению с AM и не позволяют выявить общие закономерности функционирования классов систем;

— не существует надежных методов оценки адекватности ИМ.

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование пред­ставляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моде­лируемой системы с учетом воздействий внешней среды статис­тические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Таким образом, сущность метода статистического (имитационного) моделирова­ния сводится к построению для процесса функционирования исследуемой системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, та полученные результаты моделирования системы приобретают ста­тистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функ­ционирования системы .

Теоретической основой метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведе­ние, но и количественно оценивать некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество стати­стических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные, оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относитель­ная частота появления события m/N при сходится по вероятности кр, т. е. при любом >0

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероят­ность осуществления события А в i-м испытании равна p_i, то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к среднему из вероятностей p_i, т. е. при любом >0

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значе­ния x₁, x₂, ..., x_N случайной величины ξ, то при среднее арифметическое значениеслучайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию m_ξ, т. е. при любом >0

Центральная предельная теорема. Если x₁, x₂, ..., x_N — независимые одинаково распределенные случайные величины, то при закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.