3.7. Моделирование случайных событий

Простейшими случайными объектами при статистическом моде­лировании систем являются случайные события. Рассмотрим осо­бенности их моделирования . Будем при этом предполагать, что в нашем распоряжении имеется последовательность {η_i} псевдослучайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0, 1).

1) Простое событие.

Пусть надо реализовать случайное событие А, наступающее с вероятностью P. Будем определять его как выполнение условия

η_iP.

Противоположное событие состоит в том, что η_i удовлетворяет неравенству

η_i >P.

Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе зна­чений η_i и сравнении их с P, по результатам которого далается вывод о том, какое событие произошло − А или .

2) Полная группа несовместных событий

Если моделируется полная группа несовместных событий , наступающих с вероятностями Р₁, Р₂, …, Р_s (, события не могут произойти одновременно), то наступление события А_m будем определять как то, что выбранное значение η_i удовлетворяет условию

,

где , q₀=0.

Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательном сравнении случайных чисел η_i со значениями q_m. Исходом испытания оказывается событие А_т, если выполняется данное условие. Эту процедуру называют определением исхода испы­тания по жребию в соответствии с вероятностями Р₁, Р₂, …, Р_s .

Очевидно, что эта же процедура может быть использована для реализации дискретной случайной величины ξ, принимающей конечное число возможных значений x₁, x₂, ..., x_s с вероятностямиР₁, Р₂, …, Р_s. Для дискретной случайной величины, принимающей бесконечное (счетное) число возможных значений, этот путь позволяет получить приближенное решение задачи.

Пусть дискретная случайная величина ξ принимает счетное множество возможных значений x_k (k=1, 2, …), а Р_k задается соотношением

Р_k=P(x_k), x₁< x₂< ... < x_n< ... ,

где .

Возьмем очередное РРСЧ η_i из базовой последовательности и будем формировать сумму до тех пор, пока не станет справедливым неравенство:

.

Тогда считаем , что очередным значением случайной величины ξ будет x_r.

3) Сложные события

Сложное событие − это событие, зависящее от двух или более простых событий.

Пусть в основе сложного события лежат два простых независимых события А и В с вероятностями Р_А и Р_В. исходами совместных испытаний в этом случае будут события

с вероятностями

Р_АР_В, Р_А(1-Р_В), (1-Р_А)Р_В, (1-Р_А)(1-Р_В).

Для моделирования сов­местных испытаний можно использовать два варианта процедуры:

а) последова­тельную проверку условия наступления простых событий А и В и принятие решения о исходе сложного события по результатам этих проверок;

б) определение од­ного из исходов, считая, что они представляют собой полную группу несовместных событий с соответствующими вероятностями.

Первый вариант требует двух чисел η_i и сравнений. При втором варианте можно обойтись одним числом η_i , но сравнений может по­требоваться больше. С точки зрения удобства построения моделирующего алгоритма и экономии количества операций и ячеек памяти ЭВМ более предпочтителен первый вариант.

Рассмотрим теперь слу­чай, когда события А и В являются зависимыми и на­ступают с вероятностями Ра и Р_В . Обозначим через условную вероятность наступления события В при условии, что событие А произошло. При этом считаем, что условная вероятность задана.

Рассмотрим один из вариантов построения модели. Из базовой последо­вательности случайных чисел извлекается очередное число η_i и проверяется справедливость неравенства η_i<Р_А. Если это нера­венство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, свя­занного с событием В, используется вероятность . Из сово­купности чисел {η_i} берется очередное число η_i+1 и проверяется ус­ловие η_i<. В зависимости от того, выполняется или нет это неравенство, исходом испытания являются АВ или А.

Если неравенство η_i<Р_А не выполняется, то наступило событие А. Поэтому для испытания, связанного с событием В, необходимо определить вероятность . Это можно сделать, используя формулу полной вероятности

,

откуда

.