3.5.4. Метод композиции (суперпозиции).

Этот метод может быть применён, когда применение метода обратной функции или метода исключения становится затруднительным ввиду сложности функции .

Суть метода заключается в разбиении фигуры, образуемой графиком, функции f_ξ(x) на произвольное число непересекающихся областей, форма которых позволяет использовать один из ранее рассмотренных методов формирования случайных величин (рис. 3.13).

Другими словами, осуществляется апроксимация функции f_ξ(x) композицией более простых функций в виде

, где .

Значение P_j фактически представляет собой площадь фигуры q_j.

При практической реализации метода число компонент в композиции конечно:

.

Здесь φ_j(x) – условные плотности вероятностей, соответствующие форме q_j. Их ординаты получаются делением на P_j (нормированием) отрезков вертикальных прямых, лежащих в области q_j.

Имитация реализаций ξ сводится в этом случае к реализации дискретной величины j, распределение которой задано рядом вероятностей

P₁, P₂, … , P_N,

т.е. к выбору одной из φ_j и к имитации величины с плотностью φ_j(x) одним из известных способов.

Основной принцип разбиения заключается в том, что частям q_i, имеющим наибольшую площадь (т.е. наибольшее значение P_i) должны соответствовать наиболее просто и быстро имитируемые плотности φ_i(x).

Рис. 3.13. Метод композиции

Например, разбиению на рис. соответствуют:

– ступенчатая плотность φ₁ (хорошо применим универсальный метод);

– треугольные плотности φ₂ – φ₇ (наиболее удобен метод исключений);

– остаточная плотность:

.

Таким образом, моделирующий алгоритм включает следующие этапы:

–– разбиение области под графиком f_ξ(x) на N непересекающихся областей q_j достаточно простой формы и определение их площадей ;

–– для каждой q_j строится условная плотность φ_j(x), ординаты которой получаются делением на P_j отрезков вертикальных прямых x=const, лежащих в области q_j;

–– строится шкала 0, a₁, a₂, ..., a_N=1, где ;

–– генерируется равномерно распределенное число η из диапазона от 0 до 1 и с его помощью определяется номер k плотности φ_k(x) по условию:

a_k-1< η< a_k;

–– с использованием одного из рассмотренных ранее методов формируется случайное число x_i с функцией плотности распределения φ_k(x), которое включается в выходную последовательность.

Если чисел нужно больше, то последние два пункта повторяются необходимое число раз.

3.6. Формирование случайных векторов с заданными вероятностными характеристиками

Случайный вектор можно задать проекциями на оси координат. Эти проекции являются случайными величинами, описываемыми совместным законом распределения.

В том случае, когда значения координат N-мерного вектора представляют собой независимые случайные величины, формирование векторов сводится к раздельному формированию N случайных чисел с использованием рассмотренных ранее способов. При наличии корреляции между значениями координат задача усложняется.

В простейшем случае вектор двумерный и может быть задан совместным законом распределения его проекций ξ и η на оси 0X и 0Y.

Рассмотрим способы формирования случайных векторов для моделирования дискретных и непрерывных случайных процессов на примере двумерных векторов. При большей размерности содержание рассматриваемых ниже процедур сохраняется, лишь удлинняется цепочка действий.

1. Дискретный случайный процесс.

Пусть требуется смоделировать случайный вектор (ξ , η ). Составляющая ξ может принимать значения x₁, x₂, … , x_m, а составляющая η – значения y₁, y₂, … , y_n и каждой паре (x_i y_j) соответствует вероятность P_ij. Совместную функцию распределения вероятностей зададим в виде матрицы

P = , .

Тогда каждому возможному значению x_i случайной величины ξ будут соответствовать вероятность

,

представляющая собой сумму вероятностей i-й строки матрицы.

Набор значений P₁, P₂, …, P_m представляет собой одномерный закон распределения вероятностей для первой координаты. Используя его, можно разыграть значение координаты ξ =x_i , генерируя равномерно распределенное в диапазоне от 0 до 1 число β₁ и определив значение i по правилу:

α_i-1 < β₁<α_i,

где α₀=0, α_i =.

Из всех значений матрицы P выбираем последовательность P_i1, P_i2, … , P_in (i-ю строку) и преобразуем её:

(j=1,2, …n).

Эта последовательность описывает условное распределение величины η при условии, что ξ = x_i.

Используя тот же прием, что и при розыгрыше значения первой координаты, определяем с помощью равномерно распределеннго в диапазоне от 0 до 1 числа β₂ конкретное значение y_j случайной величины η. Получена первая реализация (x_i, y_j) вектора. Если нужно большее колтчество реализаций, процедуру повторяем циклически.

2. Непрерывный случайный процесс.

В этом случае двумерная случайная величина (ξ,η) описывается совместной функцией плотности распределения f_ξη (x,y).

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно определить одномерный закон распределения одной из них

.

Имея этот закон и, используя один из рассметренных ранее методов (например, метод обратной функции), можно сформировать случайное число x_i, а затем при условии, что ξ = x_i определить условное распределение случайной величины η:

.

В соответствии с этой плотностью, можно определить случайное число y_j и получить реализацию вектора (x_i,y_j).

Аналогичным образом можно моделировать случайные вектора и большей размерности. Например, если вектор трехмерный и задан совместной функцией плотности f_ξηζ (x,y,z), то значения случайных чисел x_i, y_j, z_k выбираются в соответствии с функциями плотности:

,

,

.