2.7.3. Непрерывные марковские цепи. Уравнения Колмогорова

Рассмотрим некоторую физическую систему с дискретными состояниями S₁, S₂, ..., S_n , которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий. Если все потоки, переводящие систему из состояния в состояние, пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последействия, поэтому, при заданном состоянии системы в заданный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появления этих событий не зависят от предыстории процесса.

Процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем называются непрерывными марковскими цепями.

Рассмотрим систему, для которой при исследовании P – схем мы полагали входной поток детерминированным и поток обслуживания просеянным (интервалы времени обслуживания подчинялись геометрическому распределению).

Теперь мы будем считать, что входной поток простейший с интенсивностью λ, а поток обслуживания – пуассоновский с интенсивностью μ. Число мест ожидания в очереди ограничено и равно n. Согласно нотации Кендалла мы можем определить вид такой системы как СМО M /M/ 1/n с блокировкой источника. Ее структура представлена на рисунке 3.3.

Как и прежде предполагаем, что дисциплина обслуживания FIFO с блокировкой источника.

Состояние системы будем определять числом заявок, находящихся в данный момент в системе. Таким образом, всего возможны n+3 состояния: от 0 до n+2. Напомним, что,если число состояний системы конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в любое другое, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые не зависят от времени и начального состояния системы.

Обозначим – вероятность прихода за времяΔt i заявок, а – вероятность обслуживания заΔt i заявок.

Тогда вероятность перехода системы из состояния s в состояние s +1 за время Δt (увеличения числа заявок в системе на 1) будет равняться

Ввиду ординарности потоков слагаемыми, начиная со второго, можно пренебречь и, подставив в формулу соответствующие вероятности, получаем

_.

Аналогично получим вероятности других переходов:

Вероятность подтверждения состояния 0 равна вероятности того, что за время Δt в систему не поступит ни одной новой заявки:

В состоянии n+2 источник заблокирован и заявки систему не поступают, поэтому вероятность того, что за время Δt изменения состояния не произойдет, равна вероятности необслуживания заявки:

Теперь можно построить граф состояний для нашей системы (рис. 2.9 ).

Построим по графу систему уравнений для вероятностей состояний.

Преобразуем эту систему. Рассмотрим эту процедуру на примере первого уравнения. Раскроем скобки в правой части, перенесем в левую часть и разделим обе части наΔt:

Рис. 2.9. Граф состояний системы M /M/ 1/n с блокировкой

При левая часть есть не что иное, как производная от:

Таким образом, наша система превратилась в систему дифференциальных уравнений, которая носит название системы уравнений Колмогорова.

Напомним, что, если число состояний системы конечно и из каждого состояния можно перейти (за то или иное число шагов) в любое другое, то существуют предельные (финальные) вероятности состояний, которые не зависят от времени и начального состояния системы. Таким образом, получаем

, и, следовательно, .

Теперь первая строка нашей системы примет вид:

После проведения аналогичных преобразований для остальных строк, система будет выглядеть так:

Важность полученного результата заключается в том, что от системы дифференциальных уравнений мы перешли к системе алгебраических уравнений, которую можно достаточно просто решить и получить значения вероятностей состояний. Но предварительно преобразуем её, начиная со второго и заканчивая предпоследним уравнением – новое уравнение получаем сложением старого с новым предыдущим и заменяя им старое значение.

В результате, новое предпоследнее уравнение будет совпадать со старым последним уравнением, и все строки будут иметь вид:

Введем обозначения

Проанализируем полученную систему.

…

,

Используем уравнение нормировки:

;

или ;

Это сумма геометрической прогрессии. Напомним, что сумма k элементов конечной геометрической прогрессии равна

, где b₁ – первый член прогрессии, а q – ее множитель.

Отсюда:

Зная Р₀, можно рассчитать значения вероятности всех остальных состояний.

Определим некоторые показатели эффективности работы системы так, как это было сделано для дискретно-стохастической модели.

Cреднее время пребывания заявки в системе

,

где m – среднее время обслуживания заявки каналом, равное 1/μ , а Р_обсл– вероятность того, что канал обслуживает заявку, равная 1-р.

Отсюда

.

Средняя длина очереди