2. Аналитическое моделирование

2.1. Математические модели.

Исходной информацией для математических моделей служат данные о назначении и условиях работы моделируемой системы.

При построении математических моделей исследователь должен обеспечить с одной стороны адекватность отображения в модели реальных процессов, протекающих в исследуемой системе, а с другой стороны – возможность реализации моделирования, достигаемую, как правило, за счет выделения основных свойств системы и игнорирования несущественных (с точки зрения конкретной исследовательской задачи).

В общем случае при построении математических моделей, описание объекта должно учитывать следующие множества факторов:

• входные воздействия ;

• воздействия внешней среды ;

• внутренние параметры ;

• выходные характеристики

При моделировании множества являются независимыми (экзогенными) переменными, а зависимым (эндогенным).

Функционирование системы во времени в общем случае описывается оператором:

[2.1.1]

Для статистических моделей математическая модель может быть записана как

. [2.1.2]

Соотношения [2.1.1] и [2.1.2] могут быть заданы разными способами (аналитически, таблично, графически и т.д.). В ряде случаев они могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, так называемые состояния

.

Процесс функционирования моделируемой системы во времени в этом случае можно представить как последовательную смену состояний, которые полностью определяются начальным состоянием, входными воздействиями, внутренними параметрами и воздействиями внешней среды

[2.1.3]

[2.1.4]

Если элементы случайности отсутствуют или не учитываются, то имеем детерминированную модель

.

Это самые общие математические соотношения, а на практике на первоначальных этапах используют т.н. типовые математические схемы (типовые схемы моделирования). Они более просты и наглядны.

2.2. Типовые схемы моделирования

Не обладая такой степенью общности, как рассмотренные мо­дели, типовые математические схемы имеют преимущества просто­ты и наглядности, но при существенном сужении возможностей применения. Различают следующие виды типовых схем моделирования:

D-схемы, или непрерывно-детерминированные модели;

F-схемы, или дискретно-детерминированные модели (конечные автоматы);

P-схемы, или дискретно-стохастические модели (вероятностные автоматы);

Q-схемы, или непрерывно-стохастические модели (системы массового обслуживания);

A-схемы - обобщенные модели (агрегативные системы).

Перечисленные типовые математические схемы, естественно, не могут претендовать на возможность описания на их базе всех возможных про­цессов и систем. Каждая из них имеет свою область использования. В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайные факторы не учитываются, для представ­ления систем, функционирующих в непрерывном времени, исполь­зуются дифференциальные, интегральные, интегродифферен-циальые и другие уравнения, а для представления систем, функциони­рующих в дискретном времени, – конечные автоматы и конечноразностные схемы. В качестве стохастических моделей (при учете случайных факторов) для представления систем с дискретным вре­менем используются вероятностные автоматы, а для представления системы с непрерывным временем – системы массового обслужи­вания и т. д.