3.11.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии

Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием m и дисперсией D.

Произведено n опытов, давших результаты

.

В качестве оценки для математического ожидания естественно предложить среднее арифметическое наблюденных значений x_i.

.

Эта оценка является состоятельной (т.к. по теореме Чебышева частоты сходятся к математическому ожиданию при ) и несмещённой т.к.

.

Дисперсия этой оценки .

Рассмотрим оценку дисперсии. Можно использовать в качестве оценки статистическую дисперсию:

Можно показать, что сходится по вероятности к D, т.е. оценка состоятельна.

Если подставить выражение для в формулу для и преобразовать сумму, то получим

,

т.е. эта оценка не является несмещённой. Смещение можно ликвидировать, если умножить на . Получим

.

При и, так как состоятельна, то и состоятельна ( ― поправка Бесселя, при n > 50 между и практически нет разницы).

На практике вместо этой формулы можно использовать равносильную ей, выразив дисперсию через 2-й центральный момент

При работе с имитационной моделью для получения оценки математического ожидания и дисперсии можно использовать следующие соотношения:

и

.

С их помощью можно осуществлять экспресс-анализ значений математического ожидания и дисперсии в ходе моделирования без сохранения x_i в массиве.

3.11.2. Доверительные интервал и вероятность

Мы рассмотрели вопрос об оценке неизвестного параметра а одним числом ã (это так называемая точечная оценка). В ряде задач требуется не только найти для параметра а подходя­щее численное значение, но и оценить его точность и надежность

Надо знать, к каким ошибкам может привести замена а на ã и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за заданные пределы. Это особенно актуально при малом числе наблюдений n. Чтобы дать представление о точности и надёжности пользуются доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Пусть для а из опыта получена оценка . Зададим достаточно большую вероятность β такую, что событие с такой вероятностью можно считать практически достоверным. Найдём такое значение ε, для которого:

.

Перепишем выражение так:

.

.

.

.

ε

.

a

а₁

а₂

ε

I_β

Рис. 3.23. Доверительный интервал

Вероятность β принято называть доверительной вероятностью, а интервал I_β — доверительным интервалом . Границы интервала и называются доверительными границами (рис. 3.23).

Отметим, что величина а не случайна, а положение интервала I_β на оси абсцисс, определяемое его центром случайно. Поэтому величину β можно трактовать как вероятность того, что случайный интервал I_β накроет точку а.

Рассмотрим вопрос об определении доверительных границ a₁ и a₂. Пусть для параметра а имеется несмещенная оценка . Если бы нам был известен закон распределения величины , задача нахожде­ния доверительного интервала была бы весьма проста: достаточно было бы найти такое значение ε, для которого

.

Затруднение состоит в том, что закон распределения оценки зависит от закона распределения величины X и, следовательно, от его неизвестных параметров (в частности, и от самого пара­метра а).

Чтобы обойти это затруднение, можно применить следующий грубо приближенный прием: заменить в выражении для ε неизвестные пара­метры их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов п (порядка 2030) этот прием обычно дает удовлетвори­тельные по точности результаты.

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Если произведено n независимых опытов над случайной величиной X, характеристики которой — математическое ожидание т и дис­персия D — неизвестны и для этих параметров получены оценки и , то воспользуется тем, что оценка представляет собой сумму одинаково распределённых случайных величин x_i и, согласно центральной предельной теореме закон распределения близок к нормальному с параметрами

, .

Между ε и доверительной вероятностью β существует связь и её можно выразить аналитически, используя функцию распределения.

Для нормального закона функция плотности вероятности

.

Функция распределения

.

Обозначим и сделаем замену переменной выражение для F(x):

.

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальную функцию Ф*(x), для которой составлены таблицы:

.

Нетрудно видеть, что эта функция представляет собой функцию распределения для нормально распределенной случайной величины с параметрами m=0 и σ=1. Очевидно, что

.

Одним из свойств этой функции является то, что

.

Теперь определим вероятность попадания случайной величины в доверительный интервал, то есть решим вопрос о том, с какой вероятностью полученная оценка отличается от действительного значения m н более, чем на ε (рис. ).

°

m

°

m-ε

°

m+ε

°

.

m

°

ε

ε

Рис. Попадание оценки в доверительный интервал.

Так как оценка имеет нормальное распределение, то

Но это доверительная вероятность:

Отсюда ,

где , − функция, обратная , т.е. такое значение аргумента, при котором нормальная функция равна x. Для нормального закона распределения разработаны специальные таблицы, используя которые, можно для каждого β выбрать значение t_β.

Окончательно:

.