2.7.7. Замкнутые системы массового обслуживания (смо с ожиданием ответа)

До сих пор мы рассматривали такие системы массового обслуживания, где заявки приходили откуда-то извне и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы. Сейчас мы рассмотрим системы массового обслуживания другого типа – такие, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой СМО. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

Примером замкнутой СМО может служить, например, следующая система. Рабочий-наладчик обслуживает m станков. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равна . Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент рабочий свободен, он берется за наладку станка; на это он тратит среднее время t_обсл=1/, где  – интенсивность потока обслуживаний (наладок).

Если в момент выхода станка из строя рабочий занят, станок становится в очередь на обслуживание и ждет, пока рабочий не освободится.

Иными словами, мы имеем СМО с m источниками, каждый из которых может выдать заявку и после этого ожидает окончания обслуживания этой заявки. Если в приведенном примере станки обслуживаются бригадой из n наладчиков, то СМО становится многоканальной.

Другим примером может быть система с центральным процессором и удаленными терминалами. Пользователь, отправивший запрос с терминала не может выдать новый запрос, пока не получит сообщения от процессора об окончании обработки предыдущего.

Характерным для замкнутой системы массового обслуживания является наличие ограниченного числа источников заявок.

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным чис­лом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на по­ток заявок. Например, поток вызовов на АТС крупного города исходит, в сущности, от ограниченного числа абонентов, но это число так велико, что практически можно считать интенсивность потока заявок независимой от состояний самой АТС (сколько каналов занято в данный момент). В замкнутой же системе массового обслуживания источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Построим аналитическую модель такой системы.

Сначала рассмотрим случай с одним обслуживающим прибором и количеством источников равным m. Состояния будем кодировать числом выданных заявок. Диаграмма интенсивностей переходов для данной системы изображена на рис.2.17.

Рис. 2.17. ДИП для одноканальной замкнутой СМО

Определим вероятности состояний.

…

…

Исходя из уравнения нормировки, получаем

Найдем характеристики эффективности замкнутой СМО.

Абсолютная пропускная способность – это среднее количество заявок, обслуживаемых каналом в единицу времени. Вычислим эту характери­стику. Канал занят обслуживанием заявок с вероятностью

Р_зан = 1-Р₀ =1-р .

Если он занят, то обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Таким образом, абсолютная пропускная способность системы

А = (1-р) μ.

Так как каждая заявка, в конце концов, будет обслуже­на, то относительная пропускная способность q = 1.

Вычислим среднее число заявок, ожидающих обслуживания,иначе — среднее число источников, выдавших заявку и ожидающих ответа. По сути, это количество заявок, находящихся в данный момент в системе L_c. Вообще говоря, эту величину можно вычислить непосредственно, по формуле

L_c = 1Р₁ + 2Р₂ +…+ mР_m,

но проще будет найти ее через абсолютную пропускную способность А.

Каждый источник, еще не выдавший заявку, порождает поток заявок с интенсивностью . Таких источников m - L_c, а поток, порождаемый ими имеет интенсивность (m - L_c). Все эти заявки будут обслужены каналом, следовательно,

(m - L_c) = (1-р) μ,

откуда

L_c =

Определим теперь среднее число источников, выдавших заявки, обслуживание которых еще не началось. Фактически, это количество заявок в очереди L_оч.

Среднее число заявок в системе L_c складывается из числа заявок в очереди L_оч и среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием в канале :

L_c = L_оч + .

В канале может находиться 0 заявок с вероятностью р или 1 с вероятностью 1- р, следовательно,

Отсюда

L_оч = .

Теперь перейдем к случаю с несколькими каналами обслуживания. Будем кодировать состояния общим числом выданных источниками и еще не обслуженных заявок. Так как источник не может выдать новую заявку до окончания обслуживания предыдущей, то интенсивностьобщего потока заявок зависит от того, сколько заявок связано с процессом обслуживания (непосредственно обслуживается или стоит в очереди). Количество источников –m, число каналов –n (n<m).Диаграмма интенсивностей переходов для данной системы изображена на рис. 2.18.

Рис. 2.18. ДИП для многоканальной замкнутой СМО

Требуется найти вероятности состояний данной системы и ее характеристики.

…

, i=1, 2,…,n.

…

.

При i>n возникает ситуация, когда n заявок обслуживаются, а i-n ожидают обслуживания.

;

…

…

Подставляя в выражения для P_n+i и P_m полученное выше значение P_n, получаем

Исходя из уравнения нормировки, определим значение p:

Через вычисленные вероятности может быть определено среднее число занятых каналов:

Абсолютная пропускная способность системы

Пример. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час Процесс наладки занимает у рабочего, в среднем, 10 минут Определить характеристики замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего; его абсолютную пропускную способность А; среднее коли­чество неисправных станков L_c. Все потоки полагаем простейшими.

Решение. Имеем п = 3, λ = 2, μ== 6, .

Определяем по формулам для одноканальной замкнутой СМО

Вероятность занятости рабочего:

Р_зан =1-Р₀=1-р=0,654.

Абсолютная пропускная способность (среднее число неисправностей, которое рабочий ликвидирует в час):

Среднее число неисправных станков:

L_c =