3.5. Формирование случайных величин с заданным законом распределения.

Для формирования чисел с заданным законом распределения исходным материалом служат случайные величины, имеющие равномерное распределение. Другими словами, возможные значения y_i случайной величины η, имеющей равномерное распределение в интервале (0, 1), могут быть преобразованы в возможные значения x_i случайной величины ξ, закон распределения которой задан.

Существуют два основных пути такого преобразования случайных чисел. Первый из них состоит в реализации некоторой операции над числом над числом y_i, формирующей число x_i, имеющее (точно или приближенно) заданный закон распределения. Второй основывается на моделировании условий соответствующей предельной теории вероятостей. Рассмотрим некоторые из существующих методов.

3.5.1. Метод обратной функции.

Идея этого метода базируется на следующем утверждении.

Если случайная величина ξ имеет функцию распределения F_ξ(x), то распределение случайной величины η=F_ξ(ξ) равномерно в интервале от 0 до 1 (рис. 3.6.а).

Иными словами, если бы у нас имелась реализация {х_i} случайной величины ξ, то, преобразовав ее с помощью функции F_ξ(x), мы получим реализацию {y_i} случайной величины η, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1:

y_i= F_ξ(x_i). (3.1)

Но наша задача заключается в том, что бы, имея выборку {y_i} случайной величины η, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1, получить числа {х_i} с функцией распределения F_ξ(x). Отсюда вытекает идея метода − разрешить относительно х_i уравнение (3.1), то есть получить выражение для обратной относительно F_ξ(x) функции (рис. 3.6.б):

x_i=( y_i).

Докажем, что случайная величина, значения которой получены в соответствии с (3.1), будет иметь равномерное распределение.

Пусть η – равномерно распределена от 0 до 1. Рассмотрим случайное число , где функция φ – монотонна и непрерывна.

а) б)

Рис. 3.6. Метод обратной функции

Тогда .

Найдем функцию распределения для величины ξ :

.

Ввиду монотонности функции φ справедливо

.

Здесь для получения конечного выражения учтено то, что функкция представляет собой функцию плотности для равномерного в интервале (0, 1) распределения и равна 1 в этом интервале и 0 вне его.

Окончательно получим:

.

Отсюда:

.

Таким образом, функция φ, связывающая равномерно распределённую величину η с величиной ξ, имеющую функцию распределения F_ξ есть функция , т.е. обратная по отношению к F_ξ.

Рассмотрим пример использования метода обратной функции.

Надо получить число с показательным законам распределения. Для него функция плотности имеет вид:

.

Получим функцию распределения для показательного закона:

.

В соответствии с тем, что было рассмотрено выше, если в это выражение подставить величину x_i, имеющую показательное распределение, то в результате получится число y_i, равномерно распределенное от 0 до 1:

,

или .

Прологарифмируем обе части уравнения:

.

Отсюда

.

Если величина y_i равномерно распределена от 0 до 1, то и 1- y_i будет обладать этим же свойством, поэтому окончательно:

.

Итак, если в нашем распоряжении имеются числа {y_i}, равномерно распределенные от 0 до 1, то, воспользовавшись полученным выражением, можно вычислить после­довательность чисел {х_i}, имеющих показательное законам распределение.