9.3. Эластичность и условия максимизации выручки фирмы.

Товаропроизводителя всегда интересуют стоимостные результаты деятельности. Они разнообразны, но базовой является выручка от реализации продукции (услуг), часто именуемая валовым доходом. Достаточно сказать, что прибыль и рентабельность определяются на основе выручки от реализации.

Те или иные экономические решения воздействуют на выручку, а через нее на чистые финансовые результаты деятельности.

Выручка (TR) определяется как произведение цен (p) на физический объем продаж (Q):

TR=p*Q

Здесь TR функция двух переменных: цен и физического объема продаж. Сами переменные взаимодействуют: повышение цен приводит обычно к уменьшению объема продаж и наоборот.

Изменение выручки (валового дохода-∆TR) можно разложить на составные части следующим образом:

∆TR=TR₂-TR₁=p₂*Q₂-p₁٭Q₁=(p₂-p₁)Q₂+(Q₂-Q₁)p₁

Где Q₁ и Q₂ – физические объемы продаж соответственно базового и следующего за ним периода; р₁ и р₂ – цены базового и следующего за ним периода.

Приращение выручки с любым знаком мы вправе связать с действием двух факторов:

1. изменения цен; доля этого фактора:

d∆TR(p)=

2) изменения объема продаж; доля фактора:

d∆TR(Q)=

Влияние этих факторов разнонаправленное.

Приведем простой пример. Пусть при цене горячего обеда в поезде р₁ = 30р. спрос предъявляют 30 пассажиров в вагоне, то есть Q₁ = 30. При повышении цены до 40 р. за обед (р₂ = 40) спрос снижается до Q₂ = 23. Необходимо ответить на вопрос, как изменится выручка (валовый доход) и в том числе за счет удорожания обеда и за счет снижения спроса.

Изменение выручки найдем без труда:

∆TR = TR₂ – TR₁ = p₂ * Q₂ – p₁* Q₁ = 40 * 23 – 30 * 30 = 920 – 900 = + 20 р.

∆TR(р)=(р₂-р₁)Q₂=(40-30) 23=230р

Таково влияние фактора удорожания обеда на выручку от продаж (в расчете на один населенный вагон).

Если, напротив, изменился бы спрос при стабильной цене, то есть если бы эластичность спроса была бесконечно большой, результат был бы следующим:

∆TR(Q) = (Q₂ –Q₁) * р₁;

∆TR(Q) = (23 – 30) * 30 = – 210 р.

Взаимодействие двух факторов привело к следующему интегральному результату:

∆TR= ∆TR(р) + ∆TR(Q) = + 230 – 210 = + 20 р.

Вывод: повышение цены обеда с точки зрения продавца оправдано. Впрочем, спрос оказался достаточно эластичным и удорожание обеда на 33,3% ( 40/30 * 100 – 100) привело к приросту выручки всего лишь на

2,2% ( * 100 – 100).

Читатель, несомненно, заметил, что в ходе анализа требовалось обращение к эластичности спроса. Когда спрос эластичен, в изменении выручки доминирует фактор объема продаж. Когда, напротив, спрос неэластичен, решающее влияние на изменение выручки оказывает фактор изменения цены.

Покажем дополнительно истинность этого утверждения на следующих простых графиках.

P

P₂

P₁

_

0

P

P₂

P₁

+

+

_

Q

Q

Q₂

Q₁

Q₂

Q₁

Qд(а)

Qд(в)

Рис.9.10. Факторное изменение выручки продавца при различной эластичности спроса.

Выручка от продаж на графике будет представлена площадями соответствующих прямоугольников. Приращения выручки – прямоугольниками меньших площадей (как правило).

Факторные изменения выручки представлены прямоугольниками со знаками плюс и минус.

На двух графиках задано одинаковое приращение цен от Р1 до Р2. Но эластичность спроса разная. На графике слева спрос неэластичен. Поэтому для продавца повышение цен будет оправданной стратегией. На графике справа, наоборот, спрос весьма эластичен. Продавцу не выгодно повышать цену. Чтобы в этом убедиться, достаточно сравнить площади соответствующих прямоугольников.

Обратимся теперь к математическому определению условий максимизации выручки (TR).

Поведение функции TR при росте ее аргумента р (цены) определяется, как известно из курса математического анализа, исходя из знака ее производной. Когда производная положительна, функция возрастает, когда отрицательна – функция убывает.

В формулу выручки входит сомножителем физический объем продаж. Очевидно, он соответствует спросу на товар (услугу). Простейшей функцией спроса будет линейная функция вида:

Qд = а – вр, где в = ,

Здесь а – наибольший спрос, соответствующий бесплатному наделению покупателей товаром; в – изменение спроса (Δ Q) в расчете на единицу изменения цены (Δр).

Сразу оговоримся. Спрос редко бывает линейной функцией цены. Если столь простая зависимость и существует, то на коротком интервале продаж. Кроме того, коэффициент в = воспроизводится в разном значении. Если начальная цена запредельно высока, некоторое ее снижение не обязательно приведет к заметному росту спроса. Постепенно спрос станет коррелирован с ценой. Наконец, можно представить столь низкую цену, что наступит состояние товарного насыщения и полного удовлетворения спроса на всех рыночных сегментах. Дальнейшее снижение цен потеряет экономический смысл.

Выручка TR = р * Q = p * (a – вр) = ap – вр².

Это квадратичная функция, на графике – парабола. Экстремальной точке параболы, т.е. вершине, соответствует максимум выручки от продаж: TR= max. Но в этой точке первая производная функции равна нулю:

TR¹ = (ар – вр²)¹ = 0; а – 2вр = 0, откуда р = .

Мы нашли цену, максимизирующую выручку от продаж. Нетрудно видеть, что это значение цены для середины ценового интервала (см. рис. 9.11).

Спрос максимален при р=0. Спрос отсутствует, когда Q = а – вр = 0.

Отсюда вр = а и р = а / в

Среднее значение цены:

Р(средн.) = ( 0 + а/в) / 2 = а / 2в

Догадались ли Вы, как велика точечная эластичность спроса при цене р= а/ 2в, максимизирующей выручку от продаж? Без привлечения математического аппарата понятно, что ценовой маневр оправдывает себя не всегда. Он созидателен при эластичности спроса выше или ниже единицы. Пока Ед 1 следует снижать цены. Пока Ед  1 цены следует повышать. Два встречных процесса исчерпают себя, когда эластичность спроса станет единичной.

Теперь математический аппарат поможет нам доказать, что при цене р= а/2в эластичность спроса Ед = 1.

Обратимся к функции спроса:

Q= а – вр.

Покажем, что Ед = – вр / Q.

В самом деле, учитывая, что в = Q / p, получим:

= = = : = Eд.

p

Q

а/в

Q= a-вp

а/2в

0

а/2

Q

а

TR

max

0

Рис. 9.11.Условия максимизации выручки

Запомним. При линейной функции спроса:

Q = а – вр

Эластичность спроса Ед =

Подставим в последнюю формулу значение р = :

Ед = ;

Учтем, что мы находим Ед при Q = .

Окончтельно имеем:

Ед = = = – 1.

Выражение для эластичности спроса Ед = упрощает решение практических задач ценообразования, стоящих перед фирмой (при условии, что функция спроса линейная). Подтвердим вывод решением не сложных задач.

Задача 9.2.

Известно, что объем услуг железной дороги по договорным тарифам составляет 500 млн. приведенных тонно-км. в год (0,5 млрд. т. км). Средняя доходная ставка составляет 0,20 руб./т. км. Эластичность спроса по тарифу равна-0,1 и эластичность предложения составляет 0,2.

Найти функции спроса и предложения, предполагая, что эти функции линейны.

Задача 9.3.

Функция спроса на товар описывается формулой Q_д=200-4р. При какой цене спрос на товар будет иметь ценовую эластичность Е_д= -1?

Дайте графическую интерпретацию единичной эластичности. Покажите на графике выручку от продаж (TR) при Е_д= -1

Задача 9.4.

Функция спроса на товар Q_д=400-8р

Найти и объяснить соотношение эластичности спроса при ценах, равных 20 и 40.

Решение.

Задача 9.2.

Эластичность спроса низкая, поэтому железной дороге выгодно повышать транспортные тарифы.

Функция спроса линейная:

Q_д=a-bp,

Где a-максимально высокий спрос при цене (тарифе p=0) p-цена (тариф);

b-коэффициент изменения спроса (ΔQ_д) на единицу изменения тарифа (Δp):

b= ^д;

Тогда эластичность спроса Е_д= ; 0,1=b ; 0,2b=0,050; b=0,250;

0,5=a-0,250*0,2; a=1,0

Q_д=1-0,250р

Функция предложения Q_s=c+dp

Тогда эластичность предложения:

E_s= ; 0,2= ; 0,2d=0,1; d=0,5; 0,5=с+0,5*0,2; с=0,4;

Q_s=0,4+0,5р.

Задача 9.3.

Известно, что Е_д= ; (при условии Q_д=a-bp);

Е_д=-1= ; 200-4p=4p; p=25

При единичной эластичности спроса выручка от продаж максимальна. Убедимся в этом.

Определим линейную функцию спроса Q_д=200-4р на графике. При Q_д=0 цена р находится из уравнения: 200-4р=0; р=50;

При р=0 спрос Q_д=200.

При р=25 спрос Q_д=200-4*25=100

P

Рис.9.12. Единичная эластичность спроса и условия максимизации выручки от продаж (TR)

Найдем функцию выручки TR. Для этого предварительно найдем функцию цены Q=200-4р; 4р=200-Q; р=50-0,25Q;

TR=p*Q=(50-0,25)Q=50Q-0,25 Q²

Получим квадратичную функцию. При Q=100 имеем:

TR=50*100-0,25(100)²=5000-2500=2500

Задача 9.4.

Эластичность спроса Е_д= ;

При цене, равной 20, имеем:

Е_д= 0,67.

При цене, равной 40, эластичность спроса изменится:

Е_д= .

Спрос при увеличении цены стал гораздо более эластичным, о чем и информирует показатель Е_д (по модулю). Чем дороже один и тот же товар, тем сложнее его приобрести при ограниченном доходе покупателя.

В России с повышением общего уровня цен и цен на отдельные товары именно этот процесс (роста эластичности спроса)и происходит. Дальнейшее массовое повышение цен становится невыгодным продуцентам, а не только покупателям.

В заключение хотим предостеречь Вас от широко распространенной ошибки. Функция спроса на графике – отрезок прямой. Угол наклона отрезка прямой известен и коэффициент в = – это тангенс угла наклона отрезка прямой к вертикальной оси. Следует ли отсюда, что и эластичность спроса для всех точек отрезка прямой одинакова? Ни в коем случае! Вспомним, что эластичность выражает процентное изменение спроса в связи с процентным изменением цены. Равные абсолютные приросты спроса и цены (с любым знаком) не дают одинаковой эластичности спроса.

Вернемся к графику. Когда цена велика, ее снижение на первых порах не приводит к значительному проценту изменения, то есть % р незначителен. Напротив, спрос прирастает от нуля до положительной величины. Его приращение в процентах значительно. В результате в интервале изменения цены от до эластичность спроса Ед  1.

Предлагаем Вам самостоятельно убедиться в том, что в интервале изменения цены от до нуля эластичность спроса Ед 1.

Вновь подчеркнем. Управлять спросом и выручкой на базе фактических данных об эластичности сложнее, чем по приведенной схеме. Как функция спроса, так и эластичность спроса (предложения) изменяются во времени. Иначе говоря, наличная информация недостаточна, в ходе анализа сохраняется неопределенность. Но начинать исследования о ценовой эластичности спроса и предложения, накапливать информацию необходимо. Только при этом условии маркетинговая деятельность фирмы получит завершенный вид и будет плодотворной.