Контрольні запитання

1. Чим зумовлені нелінійності складних технічних систем?

2. На які групи поділяються всі нелінійності?

3. Які методи використовуються для аналітичного опису аналітичних нелінійностей, неаналітичних нелінійностей?

4. За якими признаками можна класифікувати нелінійні елементи?

5. Дайте визначення парно-симетричній, непарно-симетричній, несиметричній, гладкій, кусково-гладкій, однозначній і багатозначній статичним характеристикам нелінійних елементів.

6. Охарактеризуйте загальні властивості нелінійних елементів.

7. Наведіть найбільш поширені статичні характеристики в нелінійних системах.

8. Дайте визначення класичній і нечіткій множинам.

9. Які операції можна виконувати над нечіткими множинами?

ПрактичНе заняття №4

тема Математичне моделювання механічних систем з пружними зв’язками

МЕТА: вивчення теоретичних основ опису механічної частини електроприводу; оволодіння навичками складання математичних моделей і структурних схем механічних систем з пружними зв’язками

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО РОЗРАХУНКУ

Для реалізації більшості виробничих технологічних процесів і систем використовуються електротехнічні промислові установки, які включають до свого складу: електричний двигун (ЕД), механічну передачу (МП), робочу машину (РМ) або технологічний механізм (насос, вентилятор, конвеєр, дробарка, млин і т.і.), механічні частини яких зв'язані між собою (рис. 4.1). Іноді вал ЕД прямо пов'язаний з валом РМ [1]. Найбільш часто застосовуються зубчасті (редуктор), клиноремінні (барабан-трос) і черв'ячні (гвинт із гайкою) передачі, а також кривошипні й шарнірно-важільні механізми.

Рисунок 4.1 – Кінематична схема механічної частини електропривода

Механічна частина електропривода (ЕП) складається з декількох рухомих елементів, на які впливають різні зусилля або обертаючі моменти.

Моменти й зусилля, які створюються механічною частиною привода, можна розділити на рушійні моменти й моменти опору [1, 10]. Рушійний (обертаючий) момент створюється двигуном – момент на валу ротора М_дв.. Момент опору (статичний момент М_с або момент навантаження) створюється технологічним навантаженням. Статичний момент обумовлений наявністю технологічного навантаження й силами тертя і за своїм характером буває активним або реактивним. Реактивний створюється силами реакції середовища (наприклад, силами тертя) на тіло, що рухається і завжди має напрямок протилежний рухові. Активний створюється джерелом механічної енергії (наприклад, вагою вантажу, що підіймається) і його напрямок не залежить від напрямку обертання чи пересування.

Рух ЕП супроводжується зміною запасу кінетичної енергії в системі «електричний двигун – робочий механізм», що описується рівнянням механічного руху ЕП, де враховується взаємодія всіх зусиль і моментів у системі у будь-який момент часу. Рівняння механічного руху ЕП:

, (4.1)

де – момент інерції системи, що складається з моменту інерції ротора J_дв. та робочої машини J_РМ відповідно, ;

– кутова швидкість обертання двигуна, с^-1.

Момент інерції залежить від маси тіла m, що обертається, і відстані до вісі обертання : .

Обертаючий момент М_дв. приймається позитивним, якщо він спрямований убік руху привода, інакше – вважається негативним. Статичний момент М_с вважається позитивним, якщо він виконує гальмуючу дію (при підйомі вантажу, при стисненні пружини і т.і.); в інших випадках (при спуску вантажу, розтяганні пружини) приймається негативним.

У більшості практичних випадків механічні зв'язки між кінематичними ланками вважаються абсолютно жорсткими. Тому реальна схема механічної частини електромеханічної системи замінюється еквівалентною схемою (рис. 4.2), де кутові швидкості, моменти інерції й опори заміняються еквівалентними величинами.

Рисунок 4.2 – Еквівалентна схема механічної частини ЕП

Рівняння руху еквівалентної системи:

, (4.2)

де – приведений до вала ЕД еквівалентний момент інерції, ; – приведений до вала ЕД еквівалентний статичний момент, .

Еквівалентна схема на рис. 4.2 є справедливою при моделюванні багатьох технологічних установок, наприклад: металорізальних верстатів (рис. 4.3, а)), систем подачі чистого повітря з вентиляторним навантаженням (рис. 4.3, б)), піднімальних установок (рис. 4.3, в)) і т.і.

а) б)

в)

Рисунок 4.3 – Схеми механічних частин ЕП різних технологічних установок

Приведені статичні моменти для технологічних систем, зображених на рис. 4.3, відповідно:

; (4.3)

; (4.4)

, (4.5)

де – статичний момент, що обумовлений видом технологічного навантаження, ;

– передатне відношення редуктора;

– частота обертання ЕД і РМ відповідно, с^-1;

– ККД механічної передачі, що враховує втрати на тертя;

– радіус приведення, м;

F – піднімальна сила, Н;

– швидкість поступального руху, м/c.

Наприклад, для піднімальних установок статичний момент дорівнює:

, (4.6)

де – вага вантажу, Н;

– маса вантажу, кг;

– радіус барабана, м.

У реальних умовах кожний елемент механічної системи (вал електродвигуна, вал робочої машини, трос, канат і т.і.) має пружність і деформуються під впливом сил і моментів. На рис. 4.4 показано вал ЕД, що має пружні властивості.

Рисунок 4.4 – Елемент механічної частини ЕП, що має пружні властивості

До лівого кінця вала прикладений момент М₁, а до правого – М₂. Під дією цих моментів вал деформується і виникає пружний момент М_пр.. При цьому деформація вала дорівнює різниці кутів обертання кінців вала . Якщо зовнішні моменти М₁, М₂ зникнуть, то під дією пружного моменту зникне і деформація . Пружні властивості елементів механічної системи враховуються за допомогою коефіцієнта жорсткості:

. (4.7)

Коефіцієнт жорсткості залежить від геометричних розмірів пружного елемента, матеріалу, з якого його виготовлено, і технології виготовлення. Наприклад, для вала радіусом R при скручуванні коефіцієнт жорсткості визначається за формулою:

, (4.8)

де – момент інерції поперечного перерізу вала, м⁴;

– модуль зсуву, Па;

L – довжина вала, м.

Чим більший коефіцієнт жорсткості, тим менша деформація виникає у пружному елементі. Величина, обернена коефіцієнтові жорсткості, називається податливістю.

Наявність пружних механічних зв'язків є чинником, що сприяє виникненню коливань, що при несприятливих умовах істотно збільшують динамічні навантаження робочого устаткування.

Значна кількість механічних систем електроприводів промислових механізмів і машин має двомасову пружну систему, що є особливістю систем електропривода. Характерним прикладом об'єкта з пружними зв'язками є конвеєрна установка. Механічна частина конвеєрів являє собою досить складну систему з розподіленими за довжиною конвеєра параметрами: масою переміщуваного вантажу, масою і пружністю тягового органа, зусиллям статичного опору.

У реальних системах існують дисипативні сили, що приводять до поглинання енергії механічних коливань, наприклад, в’язке тертя, яке виникає при деформації механічного устаткування. Сили в’язкого тертя пропорційні швидкості деформації елемента і спрямовані протилежно до швидкості деформації.

Гальмівний момент в’язкого тертя:

, (4.9)

де – кутові швидкості обертання кінців механічної системи, що деформується.

Внутрішнє в’язке тертя в пружній системі на еквівалентній схемі позначають як вмикання механічного демпфера паралельно пружному зв’язку. Узагальнена еквівалентна схема двомасової механічної системи приведена на рис. 4.5.

Рисунок 4.5 – Еквівалентна схема механічної частини ЕП:

J_– приведений момент інерції ротора двигуна і жорстко зв’язаних з ним елементів; J_2– приведений момент інерції елементів, жорстко зв’язаних з робочим механізмом; M_дв., M_с1 – електромагнітний момент і момент опору двигуна відповідно; M_с2 – сумарний момент сил опору на валі робочого механізму; M₁₂ – момент пружної взаємодії між пружними масами системи; – кутова швидкість та кути обертання валів двигуна і робочого механізму відповідно; – приведені еквівалентні коефіцієнти жорсткості і в’язкого тертя відповідно

Момент M_с1 складається із втрат на валі двигуна і втрат у жорстко зв’язаних з ним елементів (редуктор, барабан і т.і.).

У результаті побудови еквівалентної схеми всі векторні величини мають напрямок вздовж однієї осі, що дає змогу замість векторних величин використовувати скалярні.

Відповідно до II-го закону Ньютона рівняння, що описують рух двомасової системи (рис. 4.5) мають вигляд:

(4.10)

Для одержання структурної схеми двомасової пружної механічної частини продиференціюємо останнє рівняння та приведемо систему (4.10) до канонічного вигляду:

(4.11)

З використанням методу зниження порядку похідної системі (4.11) відповідатиме структурна схема на рис. 4.6.

Рисунок 4.6 – Структурна схема двомасової пружної механічної системи

Рівняння руху для двомасової системи електропривода з урахуванням в’язкого тертя:

, (4.12)

де – момент навантаження пружного зв’язку з урахуванням моменту втрат на внутрішнє в’язке тертя .

Структурна схема двомасової системи з урахуванням в’язкого тертя, що відповідає системі (4.12), приведена на рис. 4.7.

Рисунок 4.7 – Структурна схема двомасової пружної механічної системи з урахуванням в’язкого тертя

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ

Для заданої еквівалентної схеми (рис. 4.8) механічної частини тримасової системи з пружними зв’язками визначити діючі зусилля, напрямки їх дії, побудувати структурну схему та навести математичний опис.

Рисунок 4.8 – Вихідна еквівалентна схема механічної частини системи з пружними зв’язками

Розв’язок

Згідно з вихідними даними (рис. 4.8) маса J₁ обертається з кутовою швидкістю двигуна . На цю масу діє електромагнітний момент двигуна M_дв. і момент опору M_c1. Між масами (J₁, J₂), (J₁, J₃), (J₂, J₃) існують пружні зв’язки, які визначаються приведеними еквівалентними коефіцієнтами жорсткості с₁₂, с₁₃, с₂₃ відповідно. Внаслідок наявності пружних зв’язків на масу J₁ окрім вказаних діють моменти пружності M_пр.12, M_пр.13 збоку мас J₂, J₃ відповідно. Моменти M_пр.12 і M_пр.13 є рушійними для мас J₂ і J₃, при цьому з напрямком їх дії співпадають напрямки кутових швидкостей ₂, ₃ і кутів обертання ₂, ₃ відповідно. На маси J₂, J₃ діють моменти опору M_с2, M_с3, які протидіють M_пр.12 і M_пр.13 відповідно, а також момент пружного зв’язку M_пр.23. В залежності від співвідношення величин кутових швидкостей момент M_пр.23 може як протидіяти, так і співпадати з напрямком дії обертальних моментів M_пр.12, M_пр.13 для мас J₂ і J₃ відповідно. Оскільки значення невідомі, напрямок дії M_пр.23, наприклад, для маси J₃ обирається протилежним напрямку дії моменту M_пр.13. На рис. 4.9 приведена еквівалентна схема механічної частини вихідної системи з пружними зв’язками з вказаними діючими зусиллями та напрямками їх дії.

Рисунок 4.9 – Еквівалентна схема механічної частини вихідної системи з пружними зв’язками з вказаними напрямками дії, виникаючих зусиль

Відповідно до рис. 4.9 механічна частина системи з пружними зв’язками описується системою диференціальних рівнянь:

Виконаємо диференціювання останніх трьох рівнянь та перейдемо до канонічної форми запису:

.

Використовуючи метод зниження порядку похідної отримано структурну схему для вихідної системи (рис. 4.10).

Рисунок 4.10 – Структурна схема механічної частини вихідної системи з пружними зв’язками

Задаючи значення коефіцієнтів жорсткості механічних зв’язків, моментів інерції рухомих елементів, величини статичних опорів та початкові умови за допомогою пакету Matlab можна отримати графіки зміни відповідних кутових швидкостей та кутів деформації пружних елементів системи у часі.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ

Для заданих еквівалентних схем (рис. 4.11, а), б)) механічної частини багатомасової системи з пружними зв’язками визначити діючі зусилля, напрямки їх дії, побудувати структурну схему та навести математичний опис.

а)

б)

Рисунок 4.11 – Задані еквівалентні схеми механічної частини

Примітка: для розв’язання задач необхідно знати рівняння механічного руху ЕП, вміти визначати напрямки дії рушійних моментів і моментів опору та складати структурні схеми за допомогою методу зниження порядку похідної. Відповіді на ці питання можна знайти в [1, с. 15-31; 10, с. 41-58; 11, с. 42-44; 12, с. 89-96, 242-245;].