Контрольні запитання

1. Поясніть поняття: моделювання, модель, фізична й абстрактна моделі.

2. Дайте характеристику існуючим методам моделювання.

3. Дайте визначення лінійних і нелінійних, статичних і динамічних моделей.

4. У чому полягає сутність структурного моделювання та методу зниження порядку похідної?

5. Які існують форми представлення динамічних об’єктів?

6. Які правила отримання еквівалентної передавальної функції послідовно з’єднаних ланок, систем зі зворотними зв’язками?

7. Яким чином виконується перехід від однієї форми представлення динамічних об’єктів до іншої?

8. Що таке канонічна форма запису диференціальних рівнянь?

9. Наведіть приклади застосування відомих методів моделювання.

ПрактичНе заняття №2

ТЕМА Методи розв’язання систем лінійних та нелінійних рівнянь. Числові методи рішення диференціальних рівнянь та їх систем

МЕТА: оволодіти навичками розв’язання систем лінійних і нелінійних рівнянь з використанням методів Гауса, Якобі, Гауса-Зейделя та методів поділу навпіл, послідовних ітерацій, Ньютона відповідно; придбати навички розв’язання диференціальних рівнянь за допомогою числових методів Ейлера, Гюна, Рунге-Кутта, Тейлора, Мілна-Сімпсона, Адамса-Бешфорса-Маултона, Хемінга

РЕкомендації ЩоДО РОЗРАХУНКУ

Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Більшість задач обчислювальної практики зводиться до розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Це задачі з області електротехніки, радіоелектроніки, механіки, статистики. До розв’язання СЛАР зводиться ряд задач аналізу, пов’язаних з наближенням функцій, рішенням систем диференціальних та інтегральних рівнянь і т.і.

Представлення сукупності чисел у виді таблиць обумовило розвиток матричного апарата і його широке застосування в науці і техніці завдяки зручності й ефективності упорядкування інформації [5, 8].

СЛАР в канонічній формі має вигляд:

(2.1)

Ця система може бути записана в матричному виді:

. (2.2)

Систему (2.2) можна записати як , де – матриця коефіцієнтів порядку ; – матриця-стовпець порядку , складена з незалежних змінних ; – матриця-стовпець порядку , складена з заданих коефіцієнтів .

Для рішення рівняння щодо матриці треба обидві частини цього рівняння помножити на . Тоді: . Враховуючи, що , одержимо:

;

,

де – обернена матриця.

Обчислення оберненої матриці складається з наступних дій:

• транспонувати початкову матрицю у матрицю заміною всіх рядків матриці її стовпцями;

• замінити кожен елемент знайденої матриці її алгебраїчним доповненням , де – мінор елементу матриці ;

– вичислити визначник матриці ;

• поділити кожне значення на .

Розв’язання рівнянь матричним способом є не завжди ефективним, оскільки пов’язано з тим, що коефіцієнти матриці А можуть мати різні порядки і при переводі у зворотну матрицю накопичується помилка.

Якщо матриця А невироджена, тобто якщо її визначник не рівний нулю , то система рівнянь (2.1) має єдине рішення. Значення невідомих можуть бути отримані по формулах Крамера:

, , … , (2.3)

де і – відповідно визначники матриць і А.

Визначник (детермінант) системи (2.1):

,

де – визначник, який отримується з заміною стовпця, складеного з коефіцієнтів при невідомому , стовпцем, складеним з вільних членів :

Обчислення визначника матриці 2-го порядку здійснюється за схемою:

;

Обчислення визначника матриці 3-го порядку (за правилом Саррюса приписують перші два стовпця) здійснюється за схемою:

.

Розглянемо деякі властивості матриць.

В розгорнутому вигляді матриця записується:

,

де a_ij – числа, які утворюють матрицю і знаходяться в і-му рядку та j-м стовпці.

Матриця називається квадратною, якщо число рядків у ній дорівнює числу стовпців. Приклад квадратної матриці:

Діагональною називається матриця виду

Матриця, у якої елементи, розташовані по головній діагоналі, рівні 1, а всі інші – нулі, називається одиничною:

Невизначеною називається матриця, у якій сума елементів будь-якого рядка і будь-якого стовпця дорівнює нулю.

Дві матриці рівні, якщо рівні відповідні елементи цих матриць.

Наприклад, матриця дорівнює матриці , якщо а₁₁=b₁₁, а₁₂=b₁₂, а₂₁=b₂₁, а₂₂=b₂₂.

У рівних матрицях рівні визначники. Так, для розглянутого вище приклада , але з рівності визначників двох матриць ще не випливає рівності самих матриць.

При додаванні (вирахуванні) матриць варто скласти (відняти) відповідні елементи цих матриць.

Наприклад,

Множення двох матриць (число стовпців першої повинно дорівнювати числу рядків другої) виконується за правилом «j рядок першої матриці помножується на k стовпець другої».

Для ілюстрації цього правила помножимо дві матриці, елементами яких є числа

Керуючись приведеним правилом, неважко переконатися в тому, що , тобто результуюча матриця залежить від послідовності розташування матриць співмножників.

На практиці для розв’язання матричних рівнянь застосовують прямі (точні) і ітераційні (наближені) чисельні методи [8]. Прямими називаються методи, які в припущенні, що обчислення ведуться без округлень, дозволяють отримати точне розв'язання за кінцеве число арифметичних операцій. До числа таких методів відноситься метод Гауса з вибором головного елемента. Ітераційні методи навіть в припущенні, що обчислення ведуться без округлень, дають наближене розв'язання системи з наперед заданою точністю. Точне розв'язання в даному випадку теоретично може бути отримано як результат нескінченного процесу. Характерним представником цього класу є метод Зейделя.

Відомо, що у випадках, коли матриця коефіцієнтів містить велику кількість нульових елементів, ітераційні методи заздалегідь дають краще рішення, ніж прямі методи.