Наближення Паде

Введемо поняття раціонального наближення функції. Основна задача такого наближення – зведення максимальної помилки наближення до мінімуму.

Раціональне наближення функції f(x) на інтервалі – це відношення двох поліномів ступенів N і M відповідно:

, (6.19)

де ; – поліноми ступенів N і M відповідно.

Для наближення Паде необхідно, щоб функція f(x) та її похідні були безперервні у точці . Поліноми P_N(x) і Q_M(x) побудовані таким чином, що функції f(x) і R_N,M(x) співпадають в точці і їх похідні до N+М порядку також співпадають в точці .

У випадку точним наближенням функції f(x) є розклад у ряд Маклорена. При фіксованому значенні N+M помилка буде найменша, коли поліноми P_N(x) і Q_M(x) мають однаковий ступінь або коли ступінь полінома P_N(x) більше, ніж ступінь Q_M(x).

Для аналітичної функції f(x), що має розклад Маклорена справедливою є різниця :

, (6.20)

де – невідомі коефіцієнти наближення Паде.

Якщо перемножити суми в лівій частині (6.20) і коефіцієнти при ступенях дорівняти нулю для , то в результаті отримаємо системи з N+1 і М лінійних рівнянь відповідно:

(6.21)

(6.22)

Першими знаходяться невідомі системи (6.22), потім рівняння в системі (6.21) послідовно використовуються для знаходження . Для пошуку рішення систем (6.21), (6.22) можна використовувати матричні методи вирішення лінійних систем (метод виключення Гауса), ітераційні методи Якобі, Гауса-Зейделя та ін.

ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКУ

1. Знайти наближення функції на інтервалі [0.0; 1.2] з використанням лінійного P₁(x), квадратичного P₂(x) та кубічного P₃(x) поліномів Лагранжа.

Розв’язок

Побудуємо лінійний поліном P₁(x) за точками і , використовуючи (6.3) з абсцисами і та ординатами і :

Побудуємо інші поліноми Лагранжа: квадратичний P₂(x) за трьома вузлами , і ; кубічний поліном P₃(x) за чотирма – , , і .

Виконаємо підстановку , , і , , у формулу (6.8):

Підставивши , , і і , , , у (6.9), отримаємо:

2. Для значень x, що розбивають інтервал [0.0; 1.2] з кроком 0.1, розрахувати значення функції , порівняти їх зі значеннями поліномів Лагранжа P₁(x), P₂(x), P₃(x) та обчислити середньоквадратичні відхилення помилок наближень.

Розв’язок

Значення помилок наближень Лагранжа E₁(x), E₂(x), E₃(x) для поліномів P₁(x), P₂(x), P₃(x) відповідно наведені в табл. 6.2.

Таблиця 6.2 – Порівняння значень функції f(x) з лінійним, квадратичним і кубічним наближеннями Лагранжа P₁(x), P₂(x), P₃(x)

xk	f(xk)=cos(xk)	E1(xk)= f(xk)-P1(xk)	E2(xk)= f(xk)-P2(xk))	E3(xk)= f(xk)-P3(xk)
0.0	1. 000000	0. 000000	0. 000000	0. 000000
0.1	0. 995004	0. 048141	0. 004093	-0. 000831
0.2	0. 980067	0. 086340	0. 006253	-0. 000855
0.3	0. 955336	0. 114747	0. 006629	-0. 000476
0.4	0. 921061	0. 133608	0. 005469	0. 000000
0.5	0. 877583	0. 143267	0. 003114	0. 000361
0.6	0. 825336	0. 144157	0. 000000	0. 000890
0.7	0. 764842	0. 136800	-0. 003352	0. 000351
0.8	0. 696707	0. 121802	-0. 006338	0. 000000

Продовження таблиці 6.2

0.9	0. 621610	0. 099842	-0. 008276	-0. 000438
1.0	0. 540302	0. 071671	-0. 008416	-0. 000765
1.1	0. 453596	0. 038102	-0. 005946	-0. 000724
1.2	0. 362358	0. 000000	0. 000000	0. 000000

У табл. 6.3 наведені оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Лагранжа P₁(x), P₂(x), P₃(x), що розраховуються за формулою:

, (6.23)

де – значення вибірки з N елементів;

– математичне очікування чи середнє арифметичне вибірки.

Таблиця 6.3 – Оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Лагранжа.

Поліном	P1(x), k=1	P2(x), k=2	P3(x), k=3
	0.054357	0.005736	0.000566

Наближення поліномом P₃(x) до має найкращу точність, оскільки має найменше значення середньоквадратичного відхилення помилки. З табл. 6.3 видно, що зі збільшенням ступеня інтерполяційного поліному підвищується точність наближення до функції .

3. Побудувати таблицю різницевих відношень для функції за точками x_k, для та знайти поліноми Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x).

Розв’язок

Наступна модель обчислень показує, як знайти коефіцієнт a₂ через різницеві відношення:

Значення різницевих відношень наведені в табл. 6.4.

Таблиця 6.4 – Таблиця різницевих відношень для функції

	1. 0000000
	0. 5403023	-0. 4596977
	-0. 4161468	-0. 9564491	-0. 2483757
	-0. 9899925	-0. 5738457	0. 1913017	0. 1465592
	-0. 6536436	0. 3363499	0. 4550973	0. 0879318	-0. 0146568

Використаємо табл. 6.4, щоб знайти коефіцієнти a_k і чотири інтерполяційні поліноми Ньютона P_k(x) для k=1, 2, 3, 4.

Запишемо поліноми Ньютона з використанням формули (6.18) за вузлами і елементами (коефіцієнтам поліномів Ньютона), які знаходяться на діагоналі табл. 6.4:

4. Для значень x, що розбивають інтервал [0.0; 1.2] з кроком 0.1, розрахувати значення функції , порівняти їх зі значеннями поліномів Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x) та обчислити середньоквадратичні відхилення помилок наближень.

Розв’язок

Значення помилок наближень E₁(x), E₂(x), E₃(x), E₄(x) для поліномів Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x) відповідно наведені в табл. 6.5.

Таблиця 6.5 – Порівняння f(x) з наближеннями Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x)

xk	f(xk)	E1(xk)	E2(xk)	E3(xk)	E4(xk)
0.0	1. 000000	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
0.1	0. 995004	0.040974	0.018620	-0.006442	-0.01371
0.2	0. 980067	0.072006	0.032266	-0.009943	-0.021762
0.3	0. 955336	0.093246	0.045330	-0.011235	-0.025362
0.4	0. 921061	0.104940	0.041544	-0.010949	-0.025582
0.5	0. 877583	0.107431	0.041087	-0.009622	-0.023363
0.6	0. 825336	0.101154	0.045337	-0.007700	-0.019519
0.7	0. 764842	0.086631	0.034472	-0.005539	-0.014742
0.8	0. 696707	0.064465	0.024725	-0.003415	-0.009606
0.9	0. 621610	0.035338	0.012984	-0.001525	-0.004572
1.0	0. 540302	0.000000	0.000000	0.000000	0.000000
1.1	0. 453596	-0.040736	-0.013415	0.001094	0.003851
1.2	0. 362358	-0.086005	-0.026395	0.001744	0.006810

У табл. 6.6 наведені оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x).

Таблиця 6.6 – Оцінки середньоквадратичних відхилень помилок наближень поліномами Ньютона

Поліном	P1(x), k=1	P2(x), k=2	P3(x), k=3	P4(x), k=4
	0.063592	0.024668	0.005016	0.012071

Аналіз табл. 6.6 показує, що поліном Ньютона з найвищим ступенем P₄(x) не є найкращим наближенням функції . Для наближення на відрізку [0.0; 1.2] краще використовувати поліном P₃(x), оскільки він має найменше значення оцінки середньоквадратичного відхилення помилки наближення.

З табл. 6.3 і 6.6 видно, що поліноми Лагранжа в порівнянні з поліномами Ньютона того ж ступеня дають меншу помилку наближення до функції на інтервалі [0.0; 1.2]. У зв’язку з цим, при вирішенні різних задач для інтерполяції функції на інтервалі [0.0; 1.2] краще використовувати поліноми Лагранжа.

5. Знайти наближення Паде R_4,4(x) для функції .

Розв’язок

Виконаємо розклад функції у ряд Маклорена:

З урахуванням розкладання Маклорена рівняння (6.20) приймає вигляд:

Виконавши перетворення та дорівнявши коефіцієнти при перших дев’яти ступенях x у лівій і правій частинах, отримаємо дві системи з дев’яти лінійних рівнянь:

; .

Розв’язок спочатку другої, а потім першої з отриманих систем лінійних рівнянь дозволяє знайти значення невідомих коефіцієнтів наближення Паде: .

Тоді раціональне наближення Паде R_4,4(x) для функції :

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ

1. Знайти наближення функції на інтервалі [а; b] з використанням лінійного P₁(x), квадратичного P₂(x) та кубічного P₃(x) поліномів Лагранжа. Для заданих значень x, що розбивають інтервал [а; b] з кроком h розрахувати значення функції , порівняти їх зі значеннями поліномів Лагранжа P₁(x), P₂(x), P₃(x) та обчислити середньоквадратичні відхилення помилок наближень. Необхідні дані взяти з табл. 6.7.

2. Побудувати таблицю різницевих відношень для функції за точками x_k, та знайти поліноми Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x). Для заданих значень x, що розбивають інтервал [a; b] з кроком h, розрахувати значення функції , порівняти їх зі значеннями поліномів Ньютона P₁(x), P₂(x), P₃(x), P₄(x) та обчислити середньоквадратичні відхилення помилок наближень. Необхідні дані взяти з табл. 6.7.

3. Знайти наближення Паде R_3,3(x) для функції . Необхідні дані взяти з табл. 6.8.

Таблиця 6.7 – Вихідні дані для побудови поліномів Лагранжа і Ньютона

Функція	Інтерполяційні поліноми
	Лагранжа			Ньютона
	P1(x)	P2(x)	P3(x)	Pn(x),
а = -2.0; b = 2.0; h=0.2

Таблиця 6.8 – Вихідні дані для побудови наближення Паде

Функція	Наближення Паде	Відомі розклади Маклорена
	R3, 3(x)

Примітка: для розв’язання задач необхідно знати процедури інтерполяції функцій; принципи наближення функцій поліномами Лагранжа, Ньютона та рядами Паде. Відповіді на ці питання можна знайти в [8, с. 210-279; 12, с. 65-78;].