Метод виключення Гауса та вибір головного елементу

Процес рішення СЛАР виду

чи , (2.4)

за методом виключення Гауса складається з двох етапів.

Шляхом перетворень система (2.4) приводиться до трикутного виду (тобто всі елементи матриці нижче головної діагоналі дорівнюють нулю):

,

причому коефіцієнти a і b не збігаються з коефіцієнтами вихідного матричного рівняння, а видозмінилися в процесі перетворень (1-ий етап, прямий хід). Тоді з останнього рівняння відразу визначаємо . Підставляючи в передостаннє рівняння, знаходимо , і т.д. (2-й етап, зворотній хід).

Процес приведення довільної системи до трикутної матриці за методом Гаусу з вибором головного елементу системи полягає в наступному:

– відняти з 2-го рівняння системи (2.4) перше, помножене на таке число, щоб знищився коефіцієнт при x₁; потім також, відняти перше рівняння з 3-го, 4-го і т.д.; тоді виключаються всі коефіцієнти першого стовпця, що лежать нижче головної діагоналі;

– за допомогою 2-го рівняння виключити з 3-го, 4-го і т.д. рівнянь коефіцієнти другого стовпця; послідовно продовжуючи цей процес, виключити з матриці всі коефіцієнти, що лежать нижче головної діагоналі.

Нехай задане матричне рівняння , а саме:

Будемо вважати, що .

Для приведення матриці до трикутного виду на першому кроці обчислень поділімо кожне рівняння на коефіцієнт , :

.

Віднімемо з кожного j-го рівняння системи перше ( ):

.

Якщо в ході розрахунку на головній діагоналі виявився нульовий елемент , то виконують перестановку рядків таким чином, щоб на головну діагональ не потрапив цей елемент.

Якщо елемент на головній діагоналі малий, то цей рядок збільшується на велике число , що приводить до значних помилок округлення при обчисленнях. Щоб уникнути цього, кожен цикл завжди починають з перестановки рядків. Серед елементів , > , знаходять головний, тобто найбільший за модулем в j-тім стовпці, і перестановкою рядків переводять на головну діагональ, після чого роблять виключення. Цей метод надійний, простий і найбільш вигідний для лінійних систем загального виду з щільно заповненою матрицею.

Ітераційні методи Якобі та Гауса-Зейделя

Для розв’язання систем лінійних рівнянь з великою кількістю невідомих (наприклад, при розв’язанні систем диференціальних рівнянь в часткових похідних) доцільним є застосування ітераційних методів Якобі, Гауса-Зейделя і т.і. [8]

Ітераційна формула Якобі:

. (2.5)

Ітераційна формула Гауса-Зейделя:

. (2.6)

Формули (2.5) і (2.6) дозволяють отримати послідовність векторів для наближення до точного розв’язку лінійної системи . При цьому у методі Якобі для одержання всіх нових координат використовуються всі старі координати; метод Гауса-Зейделя використовує нові координати за мірою їх появи.

Розглянемо критерій збіжності ітераційних формул (2.5) і (2.6). Лінійна система має єдиний розв’язок для любого початкового вектора , коли матриця коефіцієнтів A є суворо діагонально домінуючою.

Матриця A розміром називається суворо діагонально домінуючою, якщо виконується умова:

. (2.7)

В багатьох випадках метод Гауса-Зейделя збігається скоріше ніж метод Якобі. Проте у цих випадках формула (2.5) буде збігатися, незважаючи навіть на те, що формула (2.6) не збігається.