Контрольні запитання

1. Дайте визначення інтерполяції. У яких випадках її застосовують?

2. Наведіть приклади використання процедури інтерполяції.

3. Які існують методи інтерполяції? Наведіть найбільш відомі.

4. У чому суть інтерполяції за допомогою поліномів Лагранжа?

5. Наведіть вираз для обчислення коефіцієнтів поліномів Лагранжа. Запишіть лінійний, квадратичний і кубічний поліноми Лагранжа.

6. У чому суть наближення за допомогою поліномів Ньютона? Наведіть рекурентну формулу для побудови поліному Ньютона ступеня N.

7. Наведіть рекурентне правило побудови різницевих відносин високого порядку.

8. Яким чином складаються поліноми Ньютона за допомогою таблиці різницевих відношень? Складіть таблицю різницевих відношень для побудови поліному Ньютона 4-го порядку.

9. Що таке раціональна функція?

10. Що називається наближенням Паде, у чому його суть?

11. У яких випадках помилка наближення Паде є найменшою?

12. Яким чином знаходяться коефіцієнти наближення Паде?

ПрактичНе заняття №7

ТЕМА Апроксимація функцій

МЕТА: оволодіти навичками складання апроксимаційних залежностей за допомогою методу найменших квадратів і тригонометричних поліномів

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО РОЗРАХУНКУ

На практиці досить часто результати експериментів подаються у вигляді сукупності точок (x₁; y₁), …, (x_N; y_N) з різними абсцисами . Однак для розв’язання різних задач з дослідження функцій необхідно знати аналітичний вираз . Процедура знаходження припустимого класу аналітичних залежностей, що зв’язують ці змінні, називається апроксимацією [12, 8].

У випадку, коли числові значення відомі з декількома знаками точності, можна використовувати інтерполяційний поліном. Однак, часто результати вимірювань мають експериментальну помилку, при цьому справедливим є рівняння:

де e_k – помилки (відхилення або залишки) вимірювання.

У таких випадках доцільним є застосування апроксимації числових значень за допомогою аналітичної залежності . Для оцінки віддаленості експериментальних даних від кривої використовуються критерії [8]:

– максимальна помилка ;

– середня помилка ;

– середня квадратична помилка .

При складанні апроксимаційних залежностей найбільш часто використовують метод найменших квадратів (МНК), розкладання у ряд Фур’є або тригонометричні поліноми (дискретний ряд Фур’є) і т.і.

Метод найменших квадратів для класу лінійних функцій

Розглянемо застосування МНК для класу лінійних функцій виду: .

Процедура апроксимації сукупності точок лінійною залежністю за допомогою МНК полягає в знаходженні коефіцієнтів A, B, що мінімізують середню квадратичну помилку .

Помилка буде мінімальною тоді, коли мінімальною буде величина . На рис. 7.1 зображена геометрична інтерпретація процедури мінімізації суми квадратів відстаней по вертикалі від точок до лінії .

Відстань по вертикалі d_k від точки до точки на лінії дорівнює .

Сума квадратів відстаней d_k по вертикалі:

. (7.1)

Мінімальна величина визначається з умови:

(7.2)

Рисунок 7.1 – Геометрична інтерпретація МНК

З урахуванням (7.2) можна отримати систему лінійних рівнянь (відомих під назвою нормальних рівнянь), рішення якої дозволяє отримати значення коефіцієнтів A і B:

(7.3)