Контрольні запитання

1. Наведіть класифікацію нелінійних рівнянь.

2. Що є вирішенням нелінійних рівнянь та їх систем?

3. Чим викликана необхідність застосування чисельних методів вирішення нелінійних рівнянь та їх систем?

4. З яких етапів складається знаходження коренів нелінійних рівнянь?

5. Що значить відділити та уточнити корені?

6. Як графічне відділення коренів уточнюється з допомогою обчислень? Які властивості функції однієї змінної при цьому використовуються?

7. В чому суть методу відділення коренів?

8. В чому суть методу поділу навпіл?

9. В чому суть методу хорд? Як обирається початкове наближення?

10. В чому суть методу Ньютона для розв’язку нелінійних рівнянь та їх систем? Як обирається початкове наближення?

11. В чому суть методу Зейделя для розв’язку систем нелінійних рівнянь?

12. Наведіть ітераційні формули методу Якобі і Гауса Зейделя.

13. Яка матриця називається суворо діагонально домінуючою?

14. З яких етапів складається метод виключення Гаусса?

15. В чому суть критерію збіжності методів Якобі і Гауса Зейделя?

16. Сформулюйте задачу Коші.

17. Чому виникає необхідність застосування числових методів вирішення диференційних рівнянь?

18. Охарактеризувати числові методи вирішення диференційних рівнянь. Які методи називають однокроковими і багатокроковими?

19. Наведіть рекурентні формули методів Ейлера, Гюна, Тейлора, Рунге-Кутта.

20. Наведіть рекурентні формули методів Адамса-Бешфорса-Маултона та Мілна-Сімпсона.

ПрактичНе заняття №3

тема Математичний опис нелінійностей

МЕТА: оволодіти навичками складання математичного опису нелінійностей складних технічних систем

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО РОЗРАХУНКУ

При дослідженні динамічних режимів складних технічних систем необхідно враховувати нелінійності, які характерні як для самої системи, так і для її системи управління (СУ).

Розрізняють нелінійності, що обумовлені [12, 9, 6]:

• механічними характеристиками електродвигунів (рис. 3.1);

• характеристиками технологічних машин і механізмів (рис. 3.2, 3.3);

• конструкцією і властивостями механічної передачі, силами тертя (рис. 3.4);

• властивостями і характеристиками елементів СУ (рис. 3.5).

Нелінійні елементи можна класифікувати за признаками симетрії, гладкості, однозначності характеристик [9].

Якщо статична характеристика задовольняє умові , то вона є симетричною відносно вісі ординат і називається парно-симетричною;

статична характеристика , яка задовольняє умові є симетричною відносно початку координат і називається непарно-симетричною. Статична характеристика, що не задовольняє наведеним вище умовам називається несиметричною.

Гладкою статичною характеристикою називається характеристика, похідна якої безперервна на всьому інтервалі існування функції ; якщо похідна в деяких точках має розриви першого роду, то статична характеристика є кусково-гладкою і відноситься до ломаної лінії.

Статичну характеристику називають однозначною, якщо кожному значенню вхідної координати x відповідає єдине значення вихідної координати y(x). У випадку, коли одному значенню вхідної координати x відповідає декілька значень y(x) з урахуванням попередніх режимів, статична характеристика називається багатозначною (неоднозначною).

Загальними властивостями статичних характеристик нелінійних елементів э наявність різких зломів, вигинів, розривів безперервності і неоднозначностей.

До найбільш поширених статичних характеристик нелінійних елементів, що відображають явища, які часто трапляються в технічних системах, відносяться – насичення, нечутливість, сухе тертя, люфт, гістерезис, стрибкоподібна зміна величини та ін.

Рисунок 3.1 – Механічні характеристики електродвигунів:

1 – асинхронний двигун;

2 – двигун постійного струму послідовного збудження;

3 – двигун постійного струму змішаного збудження

Рисунок 3.2 – Механічні характеристики вентилятора (1), насоса (2), який працює на протитиск та насоса (3), що перекачує в’язке середовище

Рисунок 3.3 – Механічні характеристики металоріжучих верстатів (1), поршневих механізмів (2)

Рисунок 3.4 – Нелінійні характеристики в’язкого тертя (1), кулонівського тертя (2)

Рисунок 3.5 – Нелінійності елементів СУ електроприводом:

1 – зона нечутливості; 2 – насичення

Нелінійні залежності поділяються на дві групи: аналітичні і не аналітичні.

Аналітичні можуть бути представлені системою кусково-безперервних рівнянь. Для опису неаналітичних нелінійностей використовують методи інтерполяції і апроксимації [12].

Якщо деяка складна функція задана в табличному вигляді, то знаходять наближену до неї функцію. Таку процедуру називають інтерполяцією. Інтерполяційну функцію зручніше описувати у вигляді поліному, оскільки його значення легко обчислити за скінчену кількість кроків, інтегрувати, диференціювати. Відомі інтерполяційні поліноми Лагранжа; поліноми, записані у формі Ньютона; кускова інтерполяція кубічними поліномами та ін. [12, 8].

В деяких випадках доцільним є проведення апроксимації нелінійностей за методом найменших квадратів або за допомогою використання ортогональних функцій [12].

Коли технологічні процеси є дуже складними, для аналізу та дослідження особливо корисним є нечітке керування [2]. Математична теорія нечітких множин дозволяє описувати не­чіткі поняття й знання, оперувати цими знаннями і робити нечіткі висновки.

Для опису нечітких систем використовують знання експертів замість диференціальних рівнянь. Ці знання можуть бути виражені звичайним чином за допомогою лінгвістичних змінних, які описуються нечіткими множинами.

Нехай Е – універсальна множина, x – елемент Е, а Р – деяка властивість. Звичайна (чітка) підмножина А універсальної мно­жини Е, елементи якої мають властивість Р, визначається як множина упорядкованих пар:

,

де – характеристична функція, яка приймає значення 1, якщо елемент х має властивість Р, і 0 – в протилежному випадку.

Нечітка (під)множина відрізняється від звичайної тим, що для еле­ментів х з універсальної множини Е немає однозначної відповіді «так/ні» відносно наявності властивості Р. В зв’язку з цим нечітка (під)множина А універсальної множини Е визначається як множина упорядкованих пар з ха­рактеристичною функцією приналежності (або просто функцією приналежності), яка приймає значення в деякій впорядкованій множині М = [0; 1]. Функція приналежності вказує на ступінь (чи рівень) при­належності елемента x підмножині А. Зазвичай функції приналежності описуються за допомогою ломаних ліній.

Аналогічно діям зі звичайними множинами над нечіткими множинами можна виконувати операції перетину, об’єднання та заперечення (табл. 3.1).

Таблиця 3.1 – Операції над нечіткими множинами

Операнди	Операція
	Перетин
	Об’єднання
	Заперечення

ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКУ

1. Описати аналітично нелінійності, наведені на рис. 3.6.

а) б)

Рисунок 3.6 – Аналітичні нелінійності типу:

а) «насичення»; б) «люфт»

Розв’язок

Нелінійності, які приведені на рис. 3.6, є типовими нелінійностями – «насичення» (рис. 3.6, а) і «люфт» (рис. 3.6, б).

Насичення чи обмеження є дуже поширеним видом нелінійностей. Форма характеристики «насичення» (рис. 3.6, а) схожа для різних видів реальних пристроїв, хоча вхідні і вихідні величини можуть мати різну фізичну природу. Практично всі підсилювачі (електронні, магнітні, пневматичні, гідравлічні) мають верхню межу коефіцієнту підсилення за потужністю, оскільки джерело живлення, за рахунок якого відбувається підсилення сигналу, є обмеженим за потужністю. Нелінійність типу «насичення» також характерна для різних виконавчих механізмів (наприклад, двофазний виконавчий двигун має обмеження за швидкістю).

З рис. 3.6, а) видно, що нелінійність типу «насичення» в діапазоні [-x_b; x_b] описується прямою лінією з коефіцієнтом нахилу – тангенс кута між прямою і позитивною віссю x. Поза межами інтервалу [-x_b; x_b] значення ординати y за модулем залишається постійним і рівним y_b зі знаком абсциси x, що враховується за допомогою знакової функції sign. Математичний опис такої нелінійності приведений в табл. 3.2.

Майже будь-яке механічне з’єднання в тій чи іншій мірі має люфт. Люфт механічної передачі характеризується величиною повороту одного з елементів передачі, що не викликає поворот іншого. Найбільш часто в СУ зустрічається люфт в зубчатих зачепленнях, редукторах, плаваючих муфтах. В зубчатих передачах люфт обумовлений зазором між сусідніми зубцями шестерень, які зчіплюються, завдяки чому ведуче колесо може повертатися на деякий кут, не вступаючи у силовий контакт з відомим колесом.

Розглянемо нелінійність типу «люфт», зображену на рис. 3.6 – при зростанні (убуванні) координат x в інтервалі [-x₀; x₀] одночасно зростає (убуває) координата y, а нелінійність описується прямими лініями , де . Знак «+» відповідає убуванню, «-» – зростанню. Особливістю нелінійності є наявність переходів з однієї характеристики на іншу. Під час переходу координата x починає змінюватися в зворотному напрямку, а координата у залишається постійною не залежно від значення величини х і рівною , де x_п – значення величини x, при якому починається перехід (послідовності знаків «-», «+» відповідає перехід з лінії до та «-», «+» – навпаки). Аналітичний вираз для розглянутої нелінійності наведений у табл. 3.2.

Таблиця 3.2 – Аналітичні вирази нелінійностей (рис. 3.6)

Нелінійність типу «насичення»	Нелінійність типу «люфт»

2. Виконати операцію перетину над нечіткими множинами з заданим видом функцій приналежності (рис. 3.7) та скласти математичний опис функції приналежності для результуючої нечіткої множини С.

Рисунок 3.7 – Функції приналежності вихідних нечітких множин

Розв'язок

Виконаємо операцію перетину над нечіткими множинами A і В з функціями приналежності , відповідно (рис. 3.7).

Операція перетину для нечітких множин аналогічна операції перетину для звичайних класичних множин. Результат перетину нечітких множин А і В – нечітка множина С, яка наведена на рис. 3.8.

Рисунок 3.8 – Результат операції перетину між двома нечіткими множинами

З рис. 3.8 видно, що функція приналежності , що описує множину С являє собою функцію, умовно розбиту на чотири ділянки з різним математичним описом:

– при й функція приналежності приймає постійне значення ;

– при й описується прямими , відповідно.

Знайдемо значення x=с як точки перетину прямих і :

;

.

Математичний опис функції приналежності :

.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ

1. Описати аналітично нелінійності, наведені на рис. 3.9.

а) б)

Рисунок 3.9 – Задані аналітичні нелінійності

2. Виконати операції , над нечіткими множинами з заданим видом функцій приналежності (рис. 3.10) та скласти математичний опис функцій приналежності результуючих множин.

Рисунок 3.10 – Задані функції приналежності нечітких множин

Примітка: для розв’язання задач необхідно мати уявлення про природу виникнення нелінійностей різного роду, їх характеристики; знати способи опису аналітичних і неаналітичних нелінійностей; вміти виконувати операції над нечіткими множинами. Відповіді на ці питання можна знайти в [1, с. 41-58; 2, с. 292-305; 6, с. 13-15; 9, с. 68-81; 11, с. 548-562; 12, с. 59-89].