Наближення Лагранжа

Інтерполяція за допомогою цього методу полягає в обчисленні невідомих значень функції шляхом одержання зваженого середнього значення функції у відомих сусідніх точках [12, 8].

При лінійній інтерполяції використовується відрізок прямої, що проходить через дві задані точки (x₀; y₀), (x₁; y₁) і записується у вигляді:

, (6.3)

де – коефіцієнти полінома Лагранжа, який побудований на вузлах відповідно.

Вираз (6.3) можна записати у вигляді суми:

. (6.4)

Якщо використовується для наближення на інтервалі , такий процес називається інтерполяцією. Якщо (або ), то використання називають екстраполяцією.

Загальний вид полінома Лагранжа ступеня , що проходить через N+1 точку :

, (6.5)

де – коефіцієнти полінома Лагранжа.

Коефіцієнти полінома Лагранжа при фіксованому k мають властивості:

; (6.6)

. (6.7)

З (6.5) одержимо форму квадратичного й кубічного поліномів.

Квадратичний інтерполяційний поліном Лагранжа побудований за трьома точками (x₀; y₀), (x₁; y₁), (x₂; y₂):

, (6.8)

де ; ; .

Кубічний інтерполяційний поліном Лагранжа побудований за чотирма точками (x₀; y₀), (x₁; y₁), (x₂; y₂), (x₃; y₃):

, (6.9)

де ; ; ; .

Поліноми Ньютона

Іноді корисно знайти кілька поліномів P₁(x), P₂(x), …, P_N(x), які є наближенням функції і потім вибрати з них той, котрий задовольняє необхідним вимогам. При використанні поліномів Лагранжа не існує чітко вираженого співвідношення між P_N-1(x) і P_N(x) – кожний поліном будується індивідуально, і обчислення полінома високого ступеня вимагає виконання безлічі операцій.

Поліном Ньютона на відміну від полінома Лагранжа має рекурентну властивість [8]:

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Поліном (6.12) представляє собою поліном Ньютона з N центрами і складається із P_N-1(x) за допомогою рекурентного співвідношення:

(6.13)

Задача інтерполяції полягає в знаходженні коефіцієнтів a_k для всіх поліномів P₁(x), P₂(x), …, P_N(x), які є наближенням заданої функції f(x).

P_k(x) будуються за центрами і мають вузли Коефіцієнти a_k полінома P_N(x) залежать від значень f(x_j), j = 0, 1, …, k і обчислюються з використанням різницевих відношень функції f(x):

. (6.14)

Різницеві відношення для функції f(x):

(6.15)

Рекурентне правило побудови різницевих відносин високого порядку:

(6.16)

Таблиця різницевих відношень (табл. 6.1) будується з використанням (6.16).

Таблиця 6.1 – Різницеві відношення для

Для значень на інтервалі для функції f(x) можна побудувати єдиний поліном Ньютона зі ступенем , для якого є справедливим:

. (6.17)

Поліном Ньютона має вигляд:

, (6.18)

де – коефіцієнти полінома Ньютона; .