Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною

У практиці наукових і інженерних розрахунків часто виникає необхідність у розв’язанні рівнянь вигляду

, (2.8)

де – функція, яка визначена і безперервна на деякому кінцевому або нескінченному інтервалі .

Якщо функція являє алгебраїчний поліном, то рівняння (2.8) називається алгебраїчним. Якщо функція містить логарифмічні, тригонометричні та інші спеціальні функції, то рівняння (2.8) називається трансцендентним. Алгебраїчні та трансцендентні рівняння обчислюються однаковими методами.

Методи вирішення нелінійних рівнянь (2.8) діляться на прямі та ітераційні. Прямі методи дозволяють записати корені нелінійного рівняння у вигляді деякого кінцевого співвідношення (формули). Однак переважна більшість нелінійних рівнянь не вирішуються прямими (точними) методами, на практиці їх вирішують лише чисельними методами.

Процес відшукання кореня рівняння складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто відшукання інтервалів, усередині яких міститься по одному кореню рівняння, єдиному на даному інтервалі;

2) уточнення значень окремих коренів до деякої заданої міри точності.

На першому етапі при виділенні області, в межах якої знаходяться дійсні корені рівняння, можна скористатися наступною умовою. Якщо на кінцях деякого відрізка значення безперервної функції має різні знаки, то на цьому відрізку рівняння має хоча б один корінь.

При графічному способі визначення наближених коренів, будується графік функції, точки перетину якого з віссю абсцис дадуть наближені значення коренів.

На другому етапі виконують уточнення коренів різноманітними ітераційними методами. Для розв’язання рівняння (2.8) функція повинна бути безперервною на проміжку й задовольняти умові . Крім того, як й в усіх ітераційних методах головною характеристикою є збіжність ітераційного процесу.

У методі поділу навпіл відрізок ділиться навпіл і вибирається той напівінтервал, на кінцях якого знаки функції різні (рис. 2.1). Потім процес поділу повторюється доти, доки довжина інтервалу, що містить корінь, не стане меншою за точність . Метод поділу навпіл досить повільний, однак він завжди збігається, тобто при його використанні завжди можна отримати рішення, причому із заданою точністю.

Рисунок 2.1 – Геометрична інтерпретація метода поділу навпіл

У методах простих ітерацій, хорд, Ньютона (метод дотичних) використовується значення початкового (нульового) наближення до шуканого кореня. У цих методах ітераційний процес здійснюється за формулою, яку в загальному вигляді можна записати так:

, (2.9)

де за позначено вираз, який для кожного зі згаданих методів свій. Крім того, – початкове наближення, значення якого визначається за певними правилами залежно від методу, k – номер ітерації.

У методі послідовних ітерацій рівняння (2.8) замінюється рівносильним рівнянням , за яким і здійснюється ітераційний процес. Однак, сфера застосування цього методу обмежена. Якщо в межах кореня похідна і початкове наближення достатньо близьке до кореня, то процедура ітерації збігається, в іншому випадку – розминається. Збіжність методу суттєва тоді, коли .

Метод хорд використовується, коли на відрізку зберігає знак не тільки перша похідна , а й друга – . Тоді хорда, яка з’єднує кінці дуги ab графіка функції на інтервалі , завжди розташована з боку вгнутості цієї дуги, і точка , що є нульовим наближенням кореня, завжди розташована ближче до того кінця відрізка , в якому знак функції протилежний , тобто (рис. 2.2).

Рисунок 2.2 – Геометрична інтерпретація метода хорд

Якщо , то за початкове наближення береться права межа відрізка , тобто і обчислення проводяться за формулою

, .

Якщо , то за початкове наближення береться ліва межа відрізка , тобто і обчислення проводяться за формулою

, .

Ідея методу Ньютона зводиться до заміни функції на кожній ітерації дотичною до неї в точці . У цьому методі за початкове наближення вибирається той з кінців відрізка , в якому знаки і співпадають, тобто і обчислення проводяться за формулою

, .

Геометрична інтерпретація метода Ньютона приведена на рис. 2.3.

Рисунок 2.3 – Геометрична інтерпретація метода Ньютона

Таким чином, у цих методах відстань між черговим і попереднім наближеннями до кореня буде зменшуватися з кожною ітерацією. Процес уточнення кореня закінчується, коли виконається умова:

, (2.10)

де  – припустима похибка визначення кореня.

Ефективність чисельного методу рішення нелінійних рівнянь в значній мірі визначається його універсальністю, простотою організації обчислювального процесу, швидкістю збіжності.

Найбільшою універсальністю володіє метод ділення навпіл. Він гарантує отримання рішення для будь-якої безперервної функції , якщо знайдений інтервал, на якому вона міняє знак. Методи послідовних наближень і Ньютона пред'являють до функції жорсткіші вимоги. Обчислення методом ділення навпіл можна починати з будь-якого відрізка , на кінцях якого функція має різні знаки. При цьому процес сходиться до кореня х* рівняння . Збіжність методу послідовних наближень і Ньютона залежить від вибору початкової точки. При рішенні практичних завдань не завжди вдається перевірити виконання необхідних обмежень на вибір початкового наближення. При реалізації вказаних методів необхідно передбачати обчислення похідних функції для організації ітераційного процесу і перевірки умов збіжності. Це істотно ускладнює обчислення.

Важливою перевагою методу Ньютона є висока швидкість збіжності, що забезпечує значну економію машинного часу при рішенні складних нелінійних рівнянь.