ПрактичНе заняття №1

тема Способи математичного опису процесів і систем. Метод структурного моделювання

МЕТА: вивчення теоретичних основ математичного опису технологічних процесів і систем; оволодіння навичками переходу до різних форм математичного представлення досліджуваних систем чи об’єктів; складання структурних схем для систем диференціальних рівнянь за допомогою методу зниження порядку похідної

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО РОЗРАХУНКУ

Дослідження характеристик різних об’єктів і систем шляхом проведення випробувань та експериментів на реальних об’єктах є досить складним й витратним заходом. У зв’язку з цим необхідно мати моделі об’єктів, які відображали б з тим чи іншим ступенем точності властивості реальних об’єктів, та використовуючи різні методи моделювання проводити дослідження режимів роботи різноманітних систем.

Моделювання – процес представлення досліджуваного об'єкта адекватною або подібною до нього моделлю й проведення її дослідження для одержання інформації про об'єкт [12].

Модель – це фізична або абстрактна система, що перебуває в деякій відповідності з реальною системою або об'єктом і здатна відтворювати її властивості й характеристики. Всі існуючі моделі можна розділити на дві групи: фізичні і абстрактні [12, 11].

Фізична модель відтворює досліджуваний процес або об'єкт зі збереженням його фізичної природи й використанням характерних фізичних властивостей (продувка моделей літаків в аеродинамічних трубах, оцінка властивостей гідротехнічних споруджень за допомогою макетів руслових потоків і т.і.).

Абстрактна модель описує досліджуваний об'єкт без фізичних елементів за допомогою понять: схем, графіків, таблиць, рівнянь, алгоритмів, програм й т.і. Найбільше широко використовуваними є математичні моделі, оскільки вони можуть бути реалізовані на ЕОМ і представляють реальний об'єкт за допомогою математичного опису – набору рівнянь, що описують поведінку фізичної системи або об'єкта. Об'єкти досліджень можуть представлятися у вигляді алгебраїчних і диференціальних рівнянь і їхніх систем або в операторній формі у вигляді передавальних функцій або структурних схем. Ці форми запису тісно взаємопов’язані між собою. При цьому легко здійснюється перехід від однієї форми до іншої [12, 3].

Наприклад, модель нагрівача описується диференціальним рівнянням , яке можна представити у вигляді передавальної функції аперіодичної ланки першого порядку за допомогою заміни :

.

Аналогічним чином здійснюється зворотний перехід до диференціального рівняння:

.

Залежно від виду рівнянь, якими описується система або об'єкт, моделі діляться на лінійні й нелінійні. За характером описуваних процесів виділяються статичні й динамічні моделі. Динамічні описують процеси, що змінюються в часі, статичні – незмінні процеси [12, 11, 3, 7].

При проведенні досліджень із моделями використовуються методи аналітичного, чисельного, структурного, імітаційного й натурного моделювання [12, 11]. Аналітичний метод полягає в побудові математичної моделі досліджуваного об'єкта за допомогою математичних співвідношень (диференціальні, інтегральні, алгебраїчні рівняння), які описують його фізичні властивості. При використанні чисельних методів математичні операції (диференціювання, інтегрування й т.п.) заміняються відповідними операціями над числами (різницевими рівняннями, сумами й т.п.). У результаті створюється алгоритм, що дозволяє із припустимою погрішністю обчислити значення необхідних величин на ЕОМ і представити їх у вигляді таблиць, графіків і залежностей. Використання імітаційного моделювання дозволяє враховувати як структуру досліджуваних систем, так і їхнє функціонування в часі (метод статистичних випробувань Монте-Карло). Натурне моделювання здійснюється шляхом використання як математичних співвідношень, що описують роботу ряду елементів системи, так і реальних фізичних елементів (експериментальні лабораторні стенди).

Найчастіше математичний опис великого класу задач (електротехнічних, електромеханічних і т.і.) виконується за допомогою диференціальних рівнянь, а їх вирішення виконується шляхом структурного моделювання – побудови структурних схем або графів специфічної конфігурації із блоків інтегрування й диференціювання, суматорів, коефіцієнтів підсилення, а також у використанні математичних операцій (ділення, піднесення в ступінь, знаходження тригонометричних функцій і т.і.). Найчастіше при виконанні структурного моделювання використовується метод зниження порядку похідної, що здійснюється операцією інтегрування, реалізованою ланкою виду .

ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКУ

1. Для заданої вихідної системи диференціальних рівнянь , де скласти структурну схему за допомогою методу зниження порядку похідної.

Розв’язок

Приведемо задану систему до канонічного вигляду – коли у лівих частинах рівнянь знаходяться похідні найвищих порядків з коефіцієнтами, що дорівнюють одиниці.

Канонічний вигляд вихідної системи диференціальних рівнянь:

.

За допомогою методу структурного моделювання отримаємо розв’язок задачі у вигляді структурної схеми (рис. 1.1).

Рисунок 1.1 – Структурна схема для вихідної системи диференціальних рівнянь

Використовуючи відомі прикладні математичні пакети (наприклад, Мatlab) та задаючись конкретними значеннями , початковими умовами отримаємо графіки зміни .

2. Для заданої структурної схеми записати еквіваленту передавальну функцію, виконати перехід від операторної форми запису до диференціального рівняння та скласти структурну схему для його рішення.

Розв’язок

Розглянемо структурну схему (рис. 1.2) та виконаємо деякі структурні перетворення, необхідні для отримання еквівалентної передавальної функції.

Рисунок 1.2 – Вихідна структурна схема

Представимо вихідну структурну схему у вигляді елементарних підсистем, що складаються з послідовно з’єднаних ланок з відомими передавальними функціями або мають зворотні зв’язки. Після відповідних перетворень структурна схема, зображена на рис. 1.2, набуде вигляду, наведенному на рис. 1.3:

Рисунок 1.3 – Вихідна структурна схема після перетворень

Таким чином:

Еквівалентна передавальна функція вихідної структурної схеми:

Для переходу до диференціальної форми запису зробимо наступні заміни: та . Після відповідних перетворень маємо:

Перейдемо до канонічної форми запису диференціального рівняння:

де – постійні коефіцієнти .

На рис. 1.4 приведений розв’язок диференціального рівняння у вигляді структурної схеми, отриманої за допомогою методу зниження порядку похідної.

Рисунок 1.4 – Структурна схема отриманого диференціального рівняння

3. Для заданої електричної схеми (рис. 1.5) скласти структурну схему методом зниження порядку похідної.

Рисунок 1.5 – Електрична схема

Розв’язок

Для вихідної схеми вибираємо довільні напрямки струмів на її ділянках та довільні напрямки обходу контурів. За законами Кірхгофа складемо наступну систему диференціальних рівнянь:

Надамо системі рівнянь канонічного вигляду:

Структурна схема наведена на рис. 1.6.

Рисунок 1.6 – Структурна схема для електричної схеми

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКУ

1. Для заданої системи диференціальних рівнянь , де a, b = const скласти структурну схему методом зниження порядку похідної.

2. Для заданої структурної схеми (рис. 1.7) записати еквіваленту передавальну функцію, виконати перехід від операторної форми запису до диференціального рівняння та скласти структурну схему для його рішення.

Рисунок 1.7 – Задана структурна схема

3. Для заданої електричної схеми (рис. 1.8) скласти структурну схему методом зниження порядку похідної.

Рисунок 1.8 – Задана електрична схема

Примітка: для розв’язання задач необхідно знати правила складання передавальних функцій послідовно з’єднаних ланок і систем зі зворотними зв’язками, форми представлення досліджуваних систем, вміти користуватися методом структурного моделювання. Відповіді на ці питання можна знайти в [3, с. 26-28, 46-52; 7, с. 5-7; 11, с. 24-27, 73-77; 12, с. 17-35, 45-46].