Качественные методы исследования систем дифференциальных уравнений
Качественные методы исследования подобных систем рассмотрим на моделях, представимых в виде систем двух автономных дифференциальных уравнений:
Здесь
,
- непрерывные функции, определенные в
некоторой евклидовой плоскости (x,y
– декартовы координаты) и имеющие в
этой области непрерывные производные
порядка не ниже первого.
Область
может быть как неограниченной, так и
ограниченной. В том случае, когда
переменные величины
имеют конкретный биологический смысл,
на них накладываются некоторые
ограничения. Прежде всего, биологические
переменные не могут быть отрицательными.
Так, в модели Вольтерра,
- переменная, характеризующая численность
жертвы, а
- хищника. Область
представляет собой положительный
квадрат правой полуплоскости:
В
процессе изменения состояния системы
во времени переменные
изменяются согласно системе уравнений,
так что каждому состоянию системы
соответствует пара значений
.
Рассмотрим плоскость с осями координат,
на которых отложены значения переменных
Такая плоскость носит название фазовой
плоскости.
Она представляет совокупность всех
возможных состояний системы.
Точка
называется изображающей.
Пусть, при
,
координаты изображающей точки
.
В каждый следующий момент времени
изображающая точка будет двигаться в
соответствии с системой уравнений и
принимать положение
,
соответствующее значениям
,
.
Совокупность этих точек на фазовой плоскости называется фазовой траекторией. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.
Изображающая
точка с координатами
,
называется стационарной,
и в этой точке
Устойчивость стационарного состояния. Фазовые портреты
1. Стационарная точка типа узел.
2. Поведение переменных изображается на фазовой плоскости кривыми гиперболического типа. Такая особая точка является неустойчивой и называется особой точкой типа “седло”. Легко видеть, где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент, она всегда в конечном счете будет удаляться от равновесия.
3. Изменение переменных во времени носит колебательный характер, а фазовая траектория представляет собой спирали. Особая точка в этом случае называется фокусом. При этом, если колебания затухают, то положение равновесия является устойчивым фокусом, если амплитуда колебаний со временем нарастает, то особая точка является неустойчивым фокусом.
Затухающие колебания
Наростающие
колебания
4. В том случае, когда фазовые траектории в окрестности особой точки представляют собой эллипсы, через особую точку не проходит ни одна интегральная кривая.
Такая изолированная особая точка, вблизи которой фазовые траектории представляют замкнутые кривые (эллипсы), “вложенные друг в друга” и охватывающие особую точку, называется центром.
Классическим примером системы, имеющей своей особой точкой центр, является система уравнений Вольтерра.