Добавил:

citly Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебники / Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015

.pdf

Скачиваний:

150

Добавлен:

19.01.2020

Размер:

8.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 6822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

210	Гл. IV. Производная и ее приложения
г1(to),	и поэтому уравнение нормальной плоскости	к кривой Г в
точке Mq можно записать в виде
ИЛИ	(г - г (to), г'(to)) = 0
ИЛИ	(.х - x(t0)) x'(to) + (у - у (to)) у ' (to) + (z - z( t0)) z'(to) = 0.

б)	Главная нормаль. Любую прямую, лежащую в нормальной плос
кости	к кривой Г в точке Мо и проходящую через точку Мо, назы

вают нормалью кривой Г в точке MQ. Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.

Понятие главной нормали требует введения дополнительных огра ничений на вектор-функции, с помощью которых записываются урав нения кривых. Пусть Г — гладкая кривая, заданная уравнением (3), причем для всех t € [си,/3] существует г"(t). В этом случае говорят, что Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.

У т в е р ж д е н и е 4. Если Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением (3), s — переменная длина

„ -n		dr	и		il'r	и справедливы равенства
дуги кривой 1 , то существуют		—	и		—-	и справедливы равенства
		ds			ds2
	dr _ г'(f)						(26)
	ds	s'(t)’					(26)
	ds	s'(t)’
d2г _	s'(t)r"(t) -			s"(t)r'(t)			(27)
ds2 ~~		(s'(t))3					(27)
ds2 ~~		(s'(t))3
О Применяя правило дифференцирования						вектор-функции при за
мене переменного, получаем формулу (26):
dr _ dr dt _		dr		1	_	г'(f)
dsdt ds	dt s'(t)					s'(t)'

Используя формулу (26) и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим

d2r _	d '	dt _	d
ds2	dt	ds	dt

откуда следует формула (27).

Заметим, что s"(t) существует, так как s'(t) = |г'(£)| s"(t) = f t ( \ r ' m = f t (r'(t),r'(t))1/2

а г" (t) существует и |г'(£)| ф 0. •

Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что

Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная
/о\ m	т	т2	л
	dr	d~г	dr	единичный
уравнением (3). 1огда сущ ествую т — и — г, причем			ds
	ds	ds2

§22. Кривые

211

вектор в силу равенства (25). Обозначим этот вектор буквой т. Тогда

\| = r ,	М	=	1 ,	^	(28)
и поэтому (см. § 2 1, пример 1 ) вектор		^		ортогонален векто
ру т.		ds		ds~
Предположим, что
					(29)
и обозначим	йт
к =	йт				(30)
к =	ds				(30)
Пусть v — единичный вектор, параллельный вектору dr					Тогда
= ки,	Н	=	1,		(31)

причем вектор v ортогонален вектору т.

Так как вектор т = — параллелен вектору касательной r'(t) к as

кривой Г в силу равенства (26), то из (31) следует, что вектор v

параллелен нормальной плоскости кривой Г в точке М (оШ = г(£)). Поэтому вектор и параллелен одной из нормалей кривой Г в точке М. Эту нормаль называют главной.

Итак, если в точке М £ Г выполняется условие (29), то нормаль к кривой Г в точке М, параллельная вектору и (формула (31)), назы

вается главной нормалью.
7.	Кривизна кривой. Пусть Г = {г = r(t), а ^ t ^ /1} — дваж
ды дифференцируемаякривая, не имеющая особых точек. Тогда су-
	dr	йт	й2г
ществует — =		т и — = —-, где s = s(t) —переменная длинадуги
	ds	as	ds1

кривой Г. Число к, определяемое формулой (30), называют кривизной

кривой в точке М £ Г (O il = г(£)).

У т в е р ж д е н и е			5. Кривизна к дважды дифференцируемой кривой
Г =	{г =	г(t), а ^	t ^	/3},	не	имеющей особых точек, выражается
формулой
				к =		\|г '« Р		(32)
О Заметим, что						\|г '« Р
О Заметим, что						dr
					к =	dr		(33)
					к =	I s ’ 7		(33)
						I s ’ 7
Действительно, так как т					единичный вектор, ортогональный век-
	dx	то) используя определение кривизны (формула (30)), полу
Т0РУ т		то) используя определение кривизны (формула (30)), полу
чаем	*	\(1 т		1		dr	dr
		\(1 т		1	—	dr	dr	= к.
		Lds,T\			—	ds • м =	ds	= к.

212 Гл. IV. Производная и ее приложения

Применяя формулы (26), (27) и учитывая, что [г'(/), г'(/)] = 0, s'(t) = = |г'(/)|, из равенства (33) получаем формулу (32). •

Если г (t)	= (x(t),y(t), z(t)),				то	r'(t) = (x'(t),y'(t),z'(t)),			r"(t)	=
= (x"(t),y"(t),z"(t)),
	s'(t) =	\|r'(/)\|	= ^ ( x '( t ))2 + (y'(t))2 + (z'(t))2,
и из формулы (32), опуская аргументы, получаем
		у'	z'	2	z'	x '	2	y l
		у'	z'	+	z'	x '	+	y l
			z	+	Z	X	+	у
	к = /	У	z		Z	X	X	у
	к = /	У	((*')2 +		(у1)2 +		,	•	(34)
			((*')2 +		(у1)2 +		(*')2)3/2		1	;
Если z(t) =	О (Е	плоская кривая),					то формула (34) примет вид
			к =	\х'у" -у'х"\					(35)
			к =						(35)

((х'у- + (у’)2)3/ 2'

В частности, если плоская кривая Е задана уравнением у = f(x), то из формулы (35) находим

				!/"(*)!			(36)
			к = (1 + (/'(*))2)3/2'
Пр и м е р	2. Найти		максимум кривизны			кривой	у = f(x), где
	f(x) = 1п(ж + л/х 2 + 1 ).
А Так как f'(x ) =		1	f"(x) =		x	то по формуле (36)

находим	VS2T I				x ; + I)3/2
			И			N
	к(х) =			1
					3/2	(х2+ 2)3/2
	(*2	+ 1)3/2( 1 +
				X2 + 1
Функция к(х) является четной, и при х > 0 получаем
^	) = £ Т	2,,,' ' - т <		- + 2 »,/,2 1 _ v s			)
			(*2 + 2)3			■+ 2)3/2

откуда следует, что максимального значения (fcmax) кривизна дости гает при х = ± 1 , причем

fcmax = fc(±l) = ▲

Выясним физический смысл кривизны кривой. Пусть кривая Е

задана уравнением (24), и пусть в точке М € Е, где Ohl = г(s), су ществует кривизна k(s).

Тогда k(s) = ^Т где |r(s)| = 1. Обозначим ds

Д г = T ( S + As) - r(s)

§22. Кривые

213

где T ( S + As) и T ( S ) — единичные векторы, параллельные касатель ным к кривой Г в точках кривой, определяемых значениями пара метра s + As и s.

Пусть Aр — угол поворота касательной к кривой Г при изменении

ее параметра от s до s + A s , т. е. угол между векторами T						( S + As)
и r(s), тогда	(рис. 22.6)
	l \| Ar \| = s m l ^ .					(37)
Назовем скоростью вращения вектора т величину
	lim		А р			(38)
	A s —>-0		A s
Так как	k(s) = dr				A r	(39)
	k(s) = dr	=	lim		A r	(39)
	ds		A s —>-0		A s
то, используя равенство (37) и учитывая,					что 2 sin 1ДИ	\Acp\ при
Aр —у 0, запишем формулу (39) в следующем виде:
	k(s) =	lim		Ар		(40)
	A s —>-0			A s
Из равенств	(40) и (38) следует,	что		кривизна кривой Г,		заданной
					Г

Рис. 22.7

уравнением (24), в точке М G Г равна скорости вращения вектора касательной к этой кривой в точке М.

Число R = — - называют радиусом кривизны кривой Г в точке k(s)

M G Г (Ол1 = r(s)). Заметим, что если Г — окружность радиуса R (рис. 22.7), то угол Aip равен углу между векторами r(s) и r(s + As).

В этом случае \|As\| = R\Aip\, и поэтому lim	Ар
A s —Ш	As

кривизна окружности равна обратной величине ее радиуса.

8. Соприкасающаяся плоскость. Плоскость, проходящую че рез касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называ ют соприкасающейся плоскостью.

214 Гл. IV . Производная и ее приложения

Отсюда и из определения главной нормали следует, что соприка сающаяся плоскость определена для точек кривой, в которых кривиз на к ф 0.

У т в е р ж д е н и е 6. Если гладкая кривая Г = {г = г (£), a ^ (3} дважды дифференцируема и ее кривизна в точке MQ = M(to) не равна нулю, то уравнение соприкасающейся плоскости Q в точке MQ имеет вид

(г - r(t0), r^to), r//(t0)) = 0.

(41)

О Если s = s(t) — переменная длина дуги кривой Г, то дифферен цируя г (t) как сложную функцию и используя формулы (28) и (31), получаем

4 = Т' А =	г« =	j t ( s 'tT ) =	s 'u T	+ s t T e s 't		=	s u T + ( 4 ) 2fci/>
где индексы указывают, по каким			переменным производится диф
			ференцирование. Отсюда следу
			ет,	что	векторы			r't и	парал
			лельны плоскости Q. По условию
			к ф 0, и поэтому [rj, r"t\ ф 0. Сле
			довательно, векторы r't и r"t не
			коллинеарны.						г —г (to),
			Так		как	векторы			г —г (to),
			г1(to) =		r't (to),			г" (to)	= rV(to)
			параллельны				плоскости			Q
			(рис. 22.8), то их смешанное
			произведение равно нулю, т. е.
			во	всех	точках			плоскости		Q
			(и только в этих точках) долж
			но выполняться условие (41). •
Запишем уравнение (41) в координатной форме:
X -	x(t0)	у - у (to) Z - z(t0)
x'(to)		у ' (to)		z'(to)		=	0 .
x"(t0)		у" (to)		z"(to)

9.Центр кривизны кривой. Эволюта. Пусть кривая Г задана

натуральным уравнением (24). Будем предполагать, что в точке М Е

Е Г, где ОTil = r(s), существует кривизна к = k(s) ф 0. Тогда радиус кривизны кривой Г в точке М равен

Я = В Д = ^

(42)

§22. Кривые

215

Отложим на главной нормали кривой Г (рис. 22.9) в направлении вектора главной нормали v — v(s) отрезок M N длиной R = R(s) и на

зовем точку N	центром кривизны кривой Г в точке М. Пусть 01^ = р.
Так как	= R(s)v(s), то	получаем
р = r(s) + R(s)v(s).		(43)
Используя формулу (42) и равенство
d2г	dr
	ds = k{s)u(s),
запишем уравнение (43) в следующем виде:
	1 d2г	(44)
р =	г(s) + (fc(s))2ds2'	(44)

Предполагая, что во всех точках кри вой Г кривизна отлична от нуля, построим для каждой точки кривой центр кривизны

и назовем множество всех центров кривизны кривой Г эволютой этой

кривой.

Если кривая Гi — эволюта кривой Г, то кривую Г называют эволь вентой кривой Гь Уравнение эволюты кривой Г, заданной натураль ным уравнением, имеет вид (44).

Если кривая F задана уравнением (3), то уравнение эволюты этой кривой можно получить, заменив в равенстве (44) к и d2г их выра

жениями по формулам (34) и (27).

В	случае когда	плоская	кривая F задана уравнением F = {х =
= ж(£), у = y(t), а		^ ^ (5}, ее кривизна выражается формулой (35),
d2г	— формулой (27), где
а —	— формулой (27), где

г' = (х',у'),

и поэтому

d2г / х" ds2 V(s')2

Если р =

г" = (х",у"),	s' = У(ж')2 + (у')2,		s" = ХХ	* УУ	,
х '( х 'х " + у 'у " )	у "	y'ix'x"+ у'у")	)=
(s')4	(s')2	(s')4	)=
		■x'y"	, y"x' -	y'~"
	= U - W _______			—	I
	\ У	U x f)2 \|_ (ltl\2\2 ’	((х 'Г -+	—	I
		((«')2 + (г/')2)2 ’	((х 'Г -+	(у’W')2Г-)

то уравнение (44) в координатной форме примет вид

х’у" —у х ,	Т] —у	„/ { x 'f		+ (у')2
х’у" —у х ,	Т] —у	+ X	х у	—уiхn '	(45)
Равенства (45) задают эволюту	кривой	F	в координатной		форме.

216	Гл. IV . Производная и ее приложения

За ме ч а ние 4. Приведем без доказательства физическое истолкование эволюты и эвольвенты (см. [3] и [17]). Пусть на эволюту натянута гибкая нерастяжимая нить. Если эту нить развертывать, оставляя все время натя нутой, то конец нити опишет эвольвенту. Этим можно объяснить термины эволюта (“развертка”) и эвольвента (“развертывающаяся”).

Пр и ме р 3. Найти эволюту эллипса x = acost, у = bsint.

Д В этом случае х' = —asint, у' = bcost, х" = —acost, у" = —bsint,

и формулы (45) принимают вид						т2	2
t	2	гЛ		з		т2	2	.	з
t	а	-Ъ	cos	з	t,	Ъ - а		.	з	t.
( =		а	cos		t,	ri = — -—		sm		t.
		а				о

Следовательно, эволютой эллипса является астроида (рис. 22.10). А

Рис. 22.10 Рис. 22.11

Если плоская кривая задана уравнением у = /(ж), то уравне

ния (45) записываются в виде
			,	= / м	+ Ш $ ! 2 .		,46)
Пр и ме р	4. Найти эволюту параболы у = аж2.
Д Используя формулы (46), где /(ж) = аж2, получаем
£ = ж — 1	ж	2аж = —4 а 2ж3,	у =	аж2 +	1 + 4а ж _	1	з аж2 ^
s	2а	’	7		2а	2а

Исключая ж, получаем

Следовательно эволютой параболы является полукубическая пара бола (рис. 22.11). А

10. Сопровождающий трехгранник кривой. Пусть Г — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, удовлетво ряющая условию (29). Тогда выполняются равенства (28) и (31), где т — единичный вектор касательной, v — единичный вектор нор мали к кривой Г в данной ее точке.

Рассмотрим вектор

р = [ т , и ] .

(47)

§22. Кривые

217

Тогда /3 — единичный вектор, ортогональный векторам г и г / :

т = [и,Р\, и = [Р,т].

(48)

Прямую, проходящую через точку кривой параллельно вектору /3, называют бинормалью. Тетраэдр с вершиной в точке кривой, ребра

которого имеют длину, равную единице, и параллельны векторам т, г/, /3, называют сопровождающим трехгранником Френе (рис. 22.12).

У т в е р ж д е н и е 7. Если Г — трижды непрерывно дифференцируе мая кривая, удовлетворяющая условию (29), то справедливы формулы Френе

dr	7
Т77
ds
as = ~кт + xft,		(49)
d/3	— X V .	(50)
ds =	— X V .	(50)

О Первая из формул Френе получена в п. 6 (формула (31)). Докажем формулу (50). Дифференцируя равенство (47) с учетом формулы (31) и равенства [v,v] = 0, получаем

Ф	' d r	dv~	dv~
ds	U s ' 1*. +	_т ’ d s .	— T ’ d s .

218	Гл. IV. Производная и ее приложения

Так как v — единичный вектор, то он ортогонален вектору — . as

Кроме того, вектор v ортогонален вектору т. Поэтому вектор |V,

параллелен вектору v и справедливо равенство (50). Коэффициент к в формуле (50) называют кручением кривой в данной ее точке.

Пользуясь формулами (31), (47), (48) и (50), получаем

ж - [ * - т 1 + [А Я “ - х [ " ' Т] * m "1 = - k T + * а

т. е. справедлива формула (49). • Докажем, наконец, следующее: если кривая, заданная натураль

ным уравнением, трижды дифференцируема, а ее кривизна k = k(s) отлична от нуля, то кручение кривой я = л(,в) выражается формулой

		'd r	(Г г d3r \
		,ds ’ d s2 ’ ds3 )
		Л “	p -------- •
О Используя формулы (31) и (49), находим
'( Г = k{s)u,	dsJ	= k'{s)u + к{.з)ф- = k'(s)is - k2 (s)r + k(8)x(s)0 .
ds2	dsJ		ds

Вычислим смешанное произведение векторов, указанных в форму ле (51), пользуясь тем, что (T , V , V ) = (T , V , T ) = 0 и (T , IS,/3) = 1. Тогда из равенства

§ ’ ‘!ы - ё ) =	(Т)	к'{8)" ~ к 2 { з )	т + =
		= к2 (з )ф )(т ,1л,/3) = к2 ( з ) ф )
следует формула (51). •
З а м е ч а н и е	5. Из формулы (50) следует, что		d/3
З а м е ч а н и е	5. Из формулы (50) следует, что		^

= 1. П овторяя рассуж дения, связанные с выяснением физического смысла кривизны кривой (п. 7), отсю да получим, что

Ы	=	lim	—	,	(52)
1	1	л5-ю	A s	’	К ’

где Д а — угол поворота бинормали к кривой Г при изменении ее параметра от s до s + As. Выражение в правой части (52), как и в п. 7, назовем скорос тью вращения вектора бинормали. Эта скорость равна скорости вращ ения

соприкасаю щ ейся плоскости кривой, так как вектор /3 перпендикулярен этой плоскости.

Т аким образом, модуль кручения кривой равен скорости вращ ения со

прикасаю щ ейся плоскости.
Пр и м е р 5. Вычислим кривизну к и кручение я		винтовой линии
(пример 1 ).
Д В примере 1 получено	натуральное уравнение	винтовой линии
г = r(s) =	(a cos As, а sin As, bXs),

Упражнения к главе I V

219

где

Л =

f a 2 + У1 '

Поэтому

т= ^ = (—aAsinAs, aAcosAs, ЪХ), as

ds = (—aA2 cos As, —aA2 sinAs, 0), откуда по формуле (30) находим

	dr	\ 2	a
k =	ds	= aX =	a X + b 2

Используя формулу (31), отсюда получаем

v = (—cos As, —sin As,0).

Для нахождения x воспользуемся формулой (50), а вектор (3 най дем по формуле (47). Имеем

/3= (bAsinAs, —bXcosXs, aX),

откуда

^ = (6A2 cosAs, 6A2 sinAs, 0) = —ЬА2(—cos As, —sin As, 0),

т. e.		2
d/3	,.	2	u,
-y- = —6A			u,
ds
отсюда по формуле (50) находим
2			b
x = bX	= a 2 + b2

Таким образом, кривизна кривой и кручение для винтовой линии постоянные. ▲

УПРАЖ НЕНИЯ К ГЛАВЕ IV

1. П оказать, что ф ункция /( * ) = a rc s in	1	- х2	недифференцируема в точ-
1. П оказать, что ф ункция /( * ) = a rc s in	1	+ х2	недифференцируема в точ-
2

ке х = 0 и f i x ) = —sig n * 1 + х2 при * ф 0.

2. Д оказать формулы для производных обратных гиперболических

функций (§ 1 2 , п. 6)
(a rsh * )'	=	1	,		х е R.
		VI + х-
(arch+ * )'	=	1	—1	,	* >	1 ,
		Ух2	—1
(arth*)' =		^ 1	9,		\|*\| <	1 .

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 6822 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебники

#
19.01.20208.17 Mб150Ter-Krikorov_Kurs_matematicheskogo_analiza_2015.pdf
#
29.09.201917.39 Mб113Задачник Демидович.pdf
#
29.09.20196.68 Mб102Конспекты по химии.pdf