1.3. Устойчивость системы ифапч.

Для исследования устойчивости ИФАПЧ с ФНЧ, который имеет порядок , можно использовать критерий, основанный на по­строении годографа функции, связанного с коэффициентами ха­рактеристического уравнения

следующим образом:

Это аналог критерия устойчивости Михайлова для систем непре­рывного регулирования. В данном случае , поэтому проще проверить систему на устойчивость с помощью алгебраических методов, а не геометрических.

Известно, что характеристическое уравнение для исследуемой системы имеет вид

, (1.9)

где - собственное значение переходной матрицы, которая связывает вектор начальных состояний системы с вектором состояний в некоторый момент времени.

Проанализируем уравнение (1.9) с помощью алгебраического критерия Гурвица. Получаем систему неравенств

. (1.10)

Поскольку , то первое неравенство равносильно , а последнее более строгое, чем второе. В итоге получаем упрощённую систему

,

которая свидетельствует о достаточной простоте анализа. Подставим в систему численные значения параметров исследуемого синтезатора, получим

или .

Таким образом, все неравенства (1.10) верны, что говорит о том, что синтезатор может быть устойчивым при данных параметрах.

На рис. 1.5 представлена зависимость напряжения на выходе фильтра от времени.

Рис. 1.5. Процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из значения =16 в =2, при котором происходит срыв синхронизации.

При этом в некоторый момент времени происходит переключение ДПКД с исходного значения =16 в =2. После переключения получаем , система становится неустойчивой, что и проиллюстрировано на эпюре.

Рис. 1.6. График спектральной плотности мощности сигнала с выхода УГ при =16 и =6.

Ранее уже упоминалось, что граница устойчивости системы представляет собой диапазон значений . На рис. 1.2 до переключения система находилась на границе устойчивости, при этом на выходе ФНЧ происходит периодическое колебание напряжения. На рис. 1.6 представлен спектр генерируемого сигнала, т.е. спектральная плотность мощности сигнала с выхода УГ при =16 и =6.

Исходные данные были получены по дискретному ряду отсчётов, снятых с УГ. Временной ряд разбивался на реализации, и по ним строилась усреднённая периодограмма. Частота дискретизации в эксперименте намного превышает частоту сигнала с выхода УГ. По горизонтальной оси частота изменяется от до , т.е. от 0 до частоты Найквиста. Из графика видно, что в устойчивом режиме сигнал является квазигармоническим, а на границе устойчивости он переходит в широкополосный. Спектр широкополосного ЧМ - сигнала представляет собой набор гармоник, амплитуды которых определяются с помощью функций Бесселя и зависят от индекса модуляции (в случае синтезатора от - коэффициента передачи УГ). Расстояние между гармониками определяется частотой изменения напряжения на ФНЧ и зависит от параметров системы.

1.4. Синтез оптимальной по устойчивости и быстродействию структуры синтезатора.

Эксплуатационные характеристики реальных устройств, как правило, требуют запасов устойчивости по заданным критериям. Основными показателями являются запасы по амплитуде и фазе. Необходимо определить, насколько далеко от границы устойчивости находится линеаризованная система автоподстройки.

Найдем функции, описывающие АЧХ и ФЧХ данной системы.

Сделаем замену , где - псевдочастота, тогда из (1.8) получим АЧХ

и ФЧХ

.

Для того чтобы определить запас устойчивости по фазе, нужно сначала найти значение , для которого выполняется равенство

или ,

а затем вычислить в этой точке. На графике (рис. 1.4) стрелкой показана последовательность описанных действий. Находим , тогда Гц. В данном случае получилась довольно типичная система, потому что частота среза в 5 раз меньше частоты опорного генератора, которая совпадает с частотой сравнения. По теореме Котельникова необходимо выполнение неравенства , а в данном случае .

Запас устойчивости по фазе может быть найден как , тогда получим .

Рекомендуемый запас по фазе должен быть не менее [1]. Однако, учитывая, что для подавления частоты сравнения могут быть использованы режекторные фильтры, которые внесут дополнительный сдвиг фазы порядка , необходимо обеспечить запас по фазе .

Для того чтобы определить возможные области изменения параметров системы, при которых обеспечивается требуемый запас по фазе, нужно решить систему

,

где - требуемый запас. Геометрически решением системы является пространственная область, зависящая от параметров , и [1].

Для того чтобы определить запас устойчивости по амплитуде , нужно сначала найти значение , для которого выполняется равенство

, или ,

а затем вычислить в этой точке. На графике стрелкой показана последовательность описанных действий. Получаем дБ, где Гц. Таким образом, запас устойчивости по амплитуде составляет 9 дБ, что говорит о том, что система достаточно надёжна, т.к. в работах [1,7] даны рекомендации по обеспечению запаса по амплитуде порядка 10 дБ.

На практике для определения запасов устойчивости удобно использовать показатель колебательности , который характеризует неравномерность АЧХ замкнутой системы. В случае астатической системы показатель можно найти по формуле [1]

.

Из графика на рис. 1.4 находим, что . Согласно [1] рекомендуется выбирать , т.е. в данном случае получилось приемлемое значение.

Для непрерывной системы найдены выражения, позволяющие найти параметры синтезатора [1,7] при заданных значениях и

; ; , (1.11)

где - нормированная частота среза [7].

Известно, что для устойчивой системы автоматического регулирования асимптота частотной характеристики разомкнутой петли в точке пересечения с единичным усилением должна иметь наклон не более 20 дБ/дек. По теореме Котельникова частота дискретизации должна более чем в два раза превышать полосу пропускания системы. Если приравнять полосу пропускания частоте среза , то получится соотношение

, (1.12)

в котором - требуемый запас устойчивости по амплитуде в дБ. Запас по фазе можно найти из формулы

, (1.13)

В работах [1,7] найдены оптимальные значения параметров системы для режима фазовой автоподстройки. Согласно исследованиям, необходимо обеспечить

дБ и , а (1.14).

Для расчёта используем граничное значение , потому что при малых значениях колебательный процесс становится апериодическим и быстродействие системы снижается.

По формуле (1.13) находим , тогда , что вполне удовлетворяет условию (1.14). Из формулы (1.12) получаем (частота среза примерно в 6.3 раза меньше частоты дискретизации), тогда . Стоит отметить, что чем меньше значение , тем более обоснованным становится использование непрерывной структуры вместо дискретной, однако при этом система становится более инерционной, т.е. снижается быстродействие.

По формуле (1.11) можно рассчитать параметры синтезатора

; ; . (1.15)

Таким образом, получены оптимальные по устойчивости и быстродействию параметры системы.

На практике перед инженером стоит задача проектирования кольца ФАПЧ, обладающего оптимальными с точки зрения устойчивости и быстродействия параметрами. Обычно известны ток заряда (разряда) ШИЧФД =4 мА, крутизна УГ Гц/В, частота сравнения Гц и диапазон переключения коэффициента ДПКД , т.к. они определяются либо параметрами микросхемы, либо техническим заданием. Параметры , , выбирают из условия приемлемых частотных характеристик [1,7]. В примере воспользуемся результатом (1.15). Требуется определить параметры фильтра.

При решении поставленной задачи в качестве будем использовать , т.е. нижнюю границу переключения, потому что при других система будет находиться дальше от границы устойчивости. Находим

8 нф,

356 Ом,

1.66 нф.

Искомые параметры фильтра определены.