5.2. Статистические характеристики ошибки квантования.

Для анализа мощности ошибки обычно используется квадрат ошибки [19-22], поэтому далее разложим на промежутке в ряд функцию , тогда по (5.7) получим при , в чём нетрудно убедиться, причём .

Тогда из (7) получим

. (5.9)

С помощью зависимостей (5.8), (5.9) можно получить статистические характеристики ошибки.

Поскольку устройство квантования является дискретным, то в выражениях (5.8), (5.9) необходимо перейти от непрерывного времени к дискретному, т.е. произвести замены вида , , тогда

. (5.10)

. (5.11)

Однако стоит отметить, что полученные ряды справедливы лишь для определённых классов входных воздействий , а в некоторых особых случаях возможно их расхождение [22].

Введём оператор , который означает среднее значение величины . Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса по [22] соответственно имеют вид

, . (5.12)

Автокорреляционная функция (АКФ) случайного процесса по [22] записывается в виде

, (5.13)

при этом усреднение предполагается по множеству реализаций ошибки. Поскольку в рассматриваемой главе наиболее интересен случай передискретизации, то при достаточно больших значениях ОСШ можно предположить условие квазистационарности входного воздействия. Предположим, что входное воздействие также обладает свойством эргодичности. Тогда из (5.10) можно сделать вывод, что процесс также является квазистационарным и эргодическим, поэтому оператор усреднения можно заменить усреднением по одному ряду, т.е. , тогда по (5.12) получим

, , (5.14)

а из (5.13) следует

, (5.15)

Из (5.10), (5.14) получим

,

. (5.16)

Из (5.10), (5.15) определим АКФ стационарного процесса

. (5.17)

Из [22] определим характеристическую функцию СП в виде

, (5.18)

где усреднение осуществляется по переменной , тогда двумерная характеристическая функция определяется как

, (5.19)

Из (5.16), (5.18) получим

, . (5.20)

Из (5.17), (5.19) получим

. (5.21)

В качестве примера рассмотрим воздействие на устройство квантования константы . Очевидно, что при отсутствии шума на выходе также будет постоянная величина согласно (5.1).

При этом выполняется условие , причём , а .

Из примера видно, что при воздействии на устройство квантования медленно изменяющейся функции, что справедливо при передискретизации, ошибка также изменяется медленно. Таким образом, сигнал и шум квантования с большой вероятностью лежат в одной полосе частотной области, и их нельзя разделить методами фильтрации [24-26].

В работе [27] предложен метод, согласно которому перед квантованием к полезному сигналу добавляется белый шум , т.е. на входе смесь вида

. (5.22)

В [28] доказано, что если характеристическая функция процесса равна нулю, то при отсутствии переполнения ошибка квантования не зависит от полезного сигнала , т.е. является БШ. Такой метод воздействия на ошибку называется размыванием. Если ошибка является БШ, то её мощность одинаково распределена по всёй частотной области от 0 до , а в случае передискретизации, т.е. при условии , мощность сигнала сосредоточена в области низких частот. Таким образом, с помощью фильтра низких частот (ФНЧ) можно заметно подавить шум дискретизации [24]. При этом необходимо правильно выбрать . Очевидно, что если мощность шума мала, то его мгновенные значения будут локализованы в пределах одного уровня квантования и ошибка будет коррелированна с . Таким образом, мощность должна быть сравнима с мощностью .