Глава 5. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй.

Методами математического моделирования исследован принцип работы сигма-дельта модулятора с одной петлёй. Найдены статистические характеристики ошибки квантования при постоянном входном воздействии. С помощью имитационной модели произведена проверка полученных результатов.

В настоящее время во многих областях техники [19, 20] широкое распространение получила архитектура сигма-дельта модулятора (), основным достоинством которой является простая реализация. Подавляющее большинство являются цифровыми устройствами в связи с особенностью их применения [21]. Например, подобные устройства используются в аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователях (АЦП и ЦАП) для увеличения разрешающей способности путём передискретизации входного сигнала, в дробных синтезаторах частот для избавления от побочных гармоник путём рандомизации моментов переключения коэффициента деления, для точного и линейного преобразования ёмкости в код, а также для решения задач фильтрации, децимации и многих других. Однако, несмотря на многочисленные публикации по этой теме и широкое внедрение, исследованы лишь общие описательные принципы их работы [21], а доказательная сторона остаётся открытой.

В данной главе исследовано функционирование применительно к задаче увеличения разрешающей способности, условием которой является превышение частоты дискретизации над верхней частотой спектра входного сигнала во много раз, т.е. . Смысл такого условия состоит в том, что при измерении одного и того же значения сигнала несколько раз среднее из измерений будет точнее каждого отдельного, если шум квантования является некоррелированным.

5.1. Математическая модель устройства квантования.

В современной литературе существует несколько различных математических моделей устройства квантования [22]. Основная проблема в их использовании состоит прежде всего в том, что они нелинейные и описываются сложными аналитическими выражениями. А если в исследуемом устройстве есть обратные связи, то сложность резко возрастает. Например, в некоторых исследованиях устройство квантования заменяется идеальным реле [19-21]. Очевидно, что такое приближение является очень грубым и даёт достоверный результат только в ограниченном применении (при бинарном квантовании). Линеаризация также не является решением проблемы, потому что в реальном устройстве невозможно обеспечить бесконечно большое число уровней квантования. Однако выходом из положения может быть её применение при условии воздействий аддитивного равномерно распределённого белого шума [19 ,20]. Такое представление позволяет исследовать технические системы, содержащие устройство квантования, с помощью широко развитой линейной теории автоматического управления.

При этом необходимо выполнение следующих условий [22]:

1) Устройство квантования не переполняется, т.е. динамический диапазон входного сигнала не выходит за границы измерения, нет насыщения.

2) Устройство квантования содержит большое число уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования мало.

4) Совместная ПРВ пары любых двух отсчётов на входе устройства квантования есть гладкая функция.

При выполнении этих условий шум квантования является белым, однако в реальных АЦП, особенно использующих передискретизацию, эти условия не выполняются, т.к.

1) Заранее неизвестен динамический диапазон входного сигнала.

2) Устройство квантования обычно содержит лишь несколько уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования велико.

4) Вследствие влияния обратных связей совместная ПРВ отсчётов на входе устройства квантования не является гладкой функцией.

Одним из возможных методов анализа является разложение нелинейных элементов в ряд Фурье, т.е. гармонический анализ. При этом в случае периодической нелинейной зависимости можно получить довольно простые для анализа выражения, которые позволяют находить статистические моменты различных порядков исследуемой характеристики.

Поскольку распределение сигнала на входе устройства квантования заранее не известно, то будем использовать равномерное распределение уровней. Например, на рис. 5.1 изображена характеристика устройства квантования с равномерным распределением уровней и расстоянием между уровнями , где - вход, а - выход.

Рис. 5.1. Характеристика устройства квантования.

Стоит отметить, что на его выходе всегда появляется значение уровня, наиболее близко расположенного к входному сигналу, т.е. происходит округление до ближайшего уровня. Таким образом, устройство квантования описывается в виде [22]

, (5.1)

причём ошибка квантования равна

. (5.2)

Ошибка квантования представляет наибольший интерес для анализа. С учётом (5.2) нормированная ошибка имеет вид

,

тогда из (5.1), (5.2) получим

, (5.3)

Если динамический диапазон сигнала находится внутри области квантования, т.е. если нет переполнения, то из (5.3) получим

при , . (5.4)

Введём обозначение дёйствительного числа , где - целая часть числа , а - мнимая, причём , а .

Тогда из (5.4) получим

. (5.5)

При условии , которое следует из выражения , формула (5.5) преобразуется к виду

. (5.6)

Очевидно, что в формуле (5.6) ошибка является периодической функцией с периодом , если не учитывать края диапазона, в которых и . На рис. 5.2 представлена зависимость .

Рис. 5.2. Зависимость .

Стоит отметить, что поскольку переполнения не происходит, то можно вместо участков насыщения по краям на рис. 5.2, сделать периодическое продолжение. Т.к. входной сигнал не достигает этих границ, то, соответственно, такое представление не внесёт изменений, однако заметно упростит аналитическое выражение в форме ряда.

Согласно [23] комплексный ряд Фурье для периодической функции с периодом записывается в виде

, где . (5.7)

Поскольку на промежутке функция принимает вид , тогда по (5.7) получим при , в чём нетрудно убедиться, причём .

Тогда из (5.7) получим

. (5.8)