Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

Время изготовления партии изделий будем считать пренебрежимо малым по сравнению с величиной соответствующего отрезка времени планового пе­ риода; соответственно продукция, изготавливаемая в течение отрезка t, может быть использована для полного или частичного покрытия спроса в течение этого отрезка времени. Для разных отрезков времени спрос неодинаков; кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготавливаемых партий. Поэтому фирме нередко бывает выгодно изготавливать в течение неко­ торого отрезка времени (например, месяца) продукцию в объеме, превышаю­ щем спрос в пределах этого отрезка, и хранить излишки, используя их для удовлетворения последующего спроса. Вместе с тем, хранение возникающих при этом запасов связано с определенными затратами. В зависимости от об­ стоятельств эти затраты обусловлены такими факторами, как проценты на капи­ тал, взятый взаймы для создания запасов, арендная плата за складские поме­ щения, страховые взносы и расходы по содержанию запасов. Эти затраты необ­ ходимо учитывать при установлении программы выпуска.

Цель фирмы "Партнер" - разработать такую программу, при которой общая сумма затрат на производство и содержание запасов минимизируется при усло­ вии полного и своевременного удовлетворения спроса на продукцию.

Качественное описание изложенной задачи преобразуем в математическую модель.

Построение модели

Введем управляющие переменные:

xt - объем выпуска продукции в течение отрезка времени t; it - уровень запасов на конец отрезка t.

Спрос на продукцию для отрезка t обозначим Dt; предполагается, что вели­ чины Dt для всех t отображаются неотрицательными целыми числами и что к началу планового периода все Dt известны.

Предположим также, что для каждого отрезка t затраты зависят от объема выпуска продукции xt, уровня запасов it на конец отрезка t и, кроме того, воз­ можно от значения t. Обозначим затраты на отрезке t через Ct(xt, it). Тогда целе­ вую функцию можно записать в следующем виде

На значения управляющих переменных xt и it наложено несколько ограниче­ ний. Во-первых, предполагается целочисленность объемов выпуска

Во-вторых, предполагается, что для администрации фирмы желателен ну­ левой уровень запасов на конец отрезка N

Наконец, в-третьих, ставится условие полного и своевременного удовлетво­ рения спроса в пределах каждого отрезка времени. Выполнение этого условия можно обеспечить, введя два ограничения. Первое из них назовем "балансо­ вым", поскольку в нем утверждается, что

Уровень запасов на конец отрезка t = (Уровень запасов на начало отрезка t) + + (выпуск продукции на отрезке t) - (спрос на отрезке t).

Используя принятые условные обозначения, запишем это ограничение в виде

(заметим, что i0 - заданный уровень запасов на начало планового периода). Согласно второму вводимому ограничению, обеспечивающему своевремен­

ное выполнение фирмой "Партнер" своих обязательств, уровень запасов на на­ чало каждого отрезка и объемы выпуска продукции должны быть достаточными для того, чтобы уровень запасов на конец отрезка был бы неотрицателным. На самом же деле требуется не только неотрицательность, но и целочисленность уровней запасов (следует заметить, что, если предположить целочисленность объемов спроса и выпуска продукции, то предположение о целочисленности уровней запасов не создает дополнительных трудностей). Таким образом, тре­ буется, чтобы

С другой стороны, как отмечалось ранее, требование целочисленности не явля­ ется обязательным - в целом вид всех зависимостей сохраняется и при непре­ рывных переменных, существенно возрастает лишь объем вычислений при ис­ пользовании метода динамического программирования.

Отметим, что ограничение (3.61) является линейным. Если бы все величины затрат Ct(xt, it) линейно зависели от значений переменных, то полученная мо­ дель была бы эквивалентна описанной ранее сетевой модели. Однако в боль­ шинстве практических случаев применения производственных моделей функция затрат нелинейна. Так, для выпуска партии изделий могут потребоваться доро­ гостоящие подготовительные операции (переналадка), из-за которых затраты на производство первой единицы партии изделий превышает дополнительные за­ траты на производство остальных единиц. В тех же случаях, когда объем произ­ водства в течение некоторого периода превышает нормальную мощность про-

184 Часть 1. Новые принципы работы

При составлении математической модели удобно использовать систему ин­ дексов, при которой подстрочный индекс " 1 " соответствует конечному, a "N" - начальному состоянию. Примем следующие обозначения:

dn - спрос на продукцию на отрезке п, отстоящем от конца планового пе­ риода на п отрезков (включая рассматриваемый);

с(х, j) - затраты на отрезке п, связанные с выпуском х единиц продукции и с содержанием запасов, уровень которых к концу отрезка равен j единиц.

В этой системе обозначений d-i = Dn и dn = D-i, a Ci(x, j) = CN(x, j).

Пусть N = 4, а плановый период начинается с января. Тогда D1 есть январ­ ский спрос, D4 - апрельский. В модели же используется "обратная система ин­ дексов": январский спрос обозначен d4, апрельский - di. Следовательно, d2 - мартовский спрос (до конца планового периода -два отрезка, включая март).

Что же определяет состояние системы в начале любого отрезка? Можно считать, что уровень запасов на начало отрезка. Для принятия текущего реше­ ния об объеме выпуска не нужно знать, каким образом достигнут начальный уровень. Учитывая это обстоятельство, введем следующие обозначения:

fn(i) - стоимость, отвечающая стратегии минимальных затрат на п остав­ шихся отрезков при начальном уровне запасов i,

xn(i) - выпуск (стратегия), обеспечивающий достижение fn(i).

Согласно условию (3.59), уровень запасов на конец планового периода равен нулю, поэтому можно записать

Затем перейдем к п = 1. Начальный уровень запасов i может определяться лю­ бым неотрицательным целым числом, не большим, чем d^ вне зависимости от значения i для полного удовлетворения потребности в пределах последнего от­ резка объем выпуска должен быть равен (d-i - i). Следовательно,

Перейдем к n = 2. Заметим, что если начальный уровень запасов равен i, а объ­ ем выпуска - х, то общие затраты для двух месяцев составляют

с2(х, i+x-d2) + f^i+x-dz),

причем предполагается, что выбранная стратегия для п = 1 была оптимальной. Заметим, что величина (i+x-d2) есть попросту уровень запасов на конец плано­ вого отрезка 2. Величина i может принимать любые неотрицательные целочис­ ленные значения, не превышающие (di + d2) (вопрос к читателю: объясните, по­ чему?). При заданном i целочисленное значение х должно быть не меньше, чем (d2 - i), что обеспечивает полное удовлетворение потребности на отрезке 2, но не больше, чем (di + d2 - i), так как конечный запас равен нулю. Оптимальному объему выпуска соответствует такое значение х, при котором минимизируется

указанная выше сумма. Выполненный нами анализ ситуации для п = 2 можно выразить следующим общим выражением:

f2(i) = min [с2(х, i +x-d2) + fi(i +x-d2)],

X

где i = 0, 1, 2, . . . , di+d2, причем для отыскания минимума перебираются все неотрицательные целые значения х, заключенные в пределах d2-i < х < di+d2-i.

Как мы уже знаем, значения f3(i) можно вычислить, если известны значения f2(i), и т.д. В конце концов, в данной задаче можно вычислить fn(io), где i0 - уро­ вень запасов на начало планового периода. Общее рекуррентное соотношение динамического программирования для задачи управления запасами записыва­ ется в виде

где i = 0, 1, . . ., di + . . . + dn, причем для отыскания минимума перебираются все неотрицательные целые значения х, заключенные в пределах

d n - i < x < di + d2 + . . . + d n - i .

Заметим, что, поскольку начальный уровень запасов i рассматривается как переменная величина, полностью характеризующая состояние системы, един­ ственной независимой управляющей переменной в рекуррентном соотношении (3.65) является х, так как уровень запасов на конец отрезка равен (i+x-dn). За­ метим также, что, поскольку fo(0) и fi(i) без труда вычисляются по формулам (3.63) и (3.64), можно непосредственно и поочередно вычислить значения f2(0),

fN-i(d-i+d2+. . .+dN-i) и, наконец, до fN(i0).

Для отыскания оптимальной производственной программы определим, ка­ кой объем выпуска xN(i0) позволяет достичь полученного значения fnOo) Соот­ ветствующее решение о выпуске является оптимальным решением для началь­ ного отрезка планового периода. Уровень запасов, на начало следующего отрез­ ка равен JO+XNOO) - d ^ Найдем объем выпуска, позволяющий достичь полученно­ го нами значения fN-i[io+xN(i0) - dN] и т.д.

Итак, процесс принятия решений рассматривается как многошаговый; п - число шагов (в данной задаче - число отрезков времени планового периода) до конца процесса. В иллюстративных целях снова примем N = 4, причем эти от­ резки соответствуют январю, февралю, марту и апрелю; п = 1 относится к апре­ лю, а п = 4 - к январю. В рекуррентном соотношении (3.65) динамического про­ граммирования январский спрос обозначен d4; аналогичные индексы использо­ ваны и для целевой функции.

Начальный уровень запасов считается характеристикой состояния системы

за п шагов до конца планового периода. Продолжая рассмотрение примера, по­ строенного для четырех месяцев, заметим, что если известен уровень запасов на начало апреля и апрельский спрос, то необходимый объем производства в точности должен быть равен разности между двумя этими величинами. Такая зависимость отображается уравнением (3.64). Таким образом, если уровень за­ пасов на начало апреля известен, нахождение оптимального выпуска для этого месяца чрезвычайно просто.

Аналогично этому, при известном уровне запасов на начало марта и мар­ товском спросе, необходимый объем выпуска должен быть не меньше, чем разность между этими двумя величинами.

В свою очередь, принимаемое решение об объеме производства в марте влияет на уровень запасов на начало апреля - этот уровень равен (i + х - d2). Если последняя величина известна, то можно действовать в апреле оптималь­ ным образом. Однако апрельский выпуск уже был оптимизирован на предыду­ щем шаге. Поэтому при определении оптимального мартовского объема произ­ водства необходимо рассматривать только сумму затрат в марте и соответст­ вующих оптимальных затрат после марта. Вся совокупность этих соображений представлена правой частью соотношения (3.65) динамического программиро­ вания. Те же рассуждения можно повторить для февраля и, наконец, для янва­ ря.

Числовой пример

После того, как модель управления запасами сформирована, можем решить конкретную задачу, стоящую перед фирмой "Партнер".

Для упрощения анализа будем считать, что спрос и функция затрат одина­ ковы для всех отрезков планового периода. Для конкретности примем

Dt = 3 единицам (спрос постоянен во времени)

Предположим также, что затраты равны сумме двух элементов. Первый из них относится к производству, а второй определяется стоимостью содержания запа­ сов, которая является линейной функцией объема запасов. Таким образом, для всех отрезков

В свою очередь, производственные затраты можно рассматривать как сумму ус­ ловно-постоянных затрат на операции по переналадке (эти затраты равны 13 условным единицам) и пропорциональных затрат (они равны 2 условным едини­ цам на каждую единицу продукции). Поскольку h = 1, затраты на содержание за­ пасов численно равны уровню запасов на конец отрезка времени.

Производственные мощности и складские площади фирмы "Партнер" огра­ ничены; это вводит в задачу дополнительное усложнение. Примем, что выпуск продукции в течение одного отрезка не может превысить 5 единиц, а уровень запасов на конец отрезка - 4 единицы. Таким образом, для всех отрезков

xt = 0, 1, 2, 3, 4, 5 и it = 0, 1, 2, 3, 4.

Заметим, что затраты на переналадку относительно высоки по сравнению с другими элементами; поэтому в оптимальной программе должна появиться тен­ денция к укрупнению партий. Однако объем выпуска xt не может превысить 5 единиц, тогда как спрос равен 3. Следовательно, в течение одного отрезка уро­ вень запасов не может возрасти более чем на 2 единицы. Таким образом, в те­ чение двух первых отрезков не удается избежать двух переналадок, если исход­ ный запас равен нулю. Вовсе неочевидно, какая программа выпуска окажется оптимальной в случае более длительного планового периода.

При наличии приведенных данных об условиях деятельности фирмы "Партнер" можно составить динамическое рекуррентное соотношение, отобра­ жающее специфику задачи. Напомним, что используются следующие обозначе­ ния:

fn(i) - минимальные затраты в течение п последних отрезков планового периода при начальном уровне запасов i;

xn(i) - выпуск, позволяющий достичь fn(i). Для п = 1

поскольку уровень запасов на конец планового периода равен нулю. В общем виде рекуррентное соотношение можно записать следующим образом

fn(i)=min[C(x) +1(i + x - 3 ) + f n . i ( i + x - 3 ) ] , n = 2, 3, ..., (3.68)

X

где i = 0, 1, 2, 3, 4, и для отыскания минимума перебираются все неотрицатель­ ные целые значения х, заключенные в пределах 3 - i < х < min(5, 7- i). Ограни­ ченность производственных мощностей не позволяет х превысить 5, а ограни­ ченность уровня запасов на конец отрезка не позволяет х превысить (7 - i).

Для того чтобы анализ был содержательным, необходимо располагать все­ ми значениями функций fn(i). В связи с этим проведенные вычисления помеще­ ны в таблицы. Для каждого шага п построена одна таблица; в ней предусмотре­ но по одной строке для каждого возможного значения начального уровня запа­ сов i и по одному столбцу - для каждого возможного значения выпуска х. По­ скольку спрос на продукцию в пределах каждого отрезка должен быть полно­ стью удовлетворен, а уровень запасов на конец отрезка не может превысить 4 единицы, некоторые клетки в таблицах "запрещены" - они соответствуют недо­ пустимым сочетаниям i и х. Каждое из проставленных в таблице чисел пред-

188 Часть 1. Новые принципы работы

ставляет собой сумму затрат для рассматриваемого отрезка п и оптимальных затрат для всех (п -1) последующих отрезков. В двух правых столбцах таблицы проставлены: минимальная по строке сумма [в столбце fn(i)] и соответствующий ей оптимальный выпуск [в столбце xn(i)].

Значения fi(i), вычисленные по формуле (3.67), приведены в таблице

на h = 1. Так, например, при i = 3 и х = 0 уровень запасов на конец отрезка равен

клетке. При i = 3 и х =1 уровень запасов на конец месяца равен 1; в соответст­ вующей клетке второе слагаемое также равно нулю. Аналогичным образом зна­ чения вторых слагаемых вычисляются и для других клеток третьей строки (i =3). Наконец, третье слагаемое - это значение f-i(i+x-3), ранее вычисленное и при­ веденное в таблице рис.3.13.

Для каждого фиксированного i значение функции f2(i) представляет собой минимальную из всех сумм в "клетках" данной строки, a x2(i) - соответствующий выпуск. Так, при i = 1 и п = 2 оптимальный выпуск равен 5 единицам; он позво-

Численные результаты, приведенные в таблицах рис.3.13 - 3.16, необходи­ мы для определения оптимальных объемов производства. Вместе с тем, в этих таблицах содержится важная информация об устойчивости решения при изме­ нении заданных значений параметров модели, таких, как длительность планово­ го периода или исходный уровень запасов. Рассмотрим вопросы чувствительно­ сти оптимального решения на основе полученных результатов планирования деятельности фирмы "Партнер".

Для определенности будем считать, что плановый период начинается в ян­ варе. Нас интересует изменение оптимальных месячных объемов выпуска при увеличении числа месяцев N в плановом периоде и, в частности, изменение ян­ варского выпуска. Результаты анализа, основанного на данных таблицы рис.3.16, приведены в таблице рис.3.17. При этом предполагается, что исходный уровень запасов на начало января равен нулю.

Рис.3.17. Программа выпуска продукции фирмой "Партнер" (i0 = 0)

Таблица рис.3.17 построена следующим образом. Январский объем произ­ водства (3 единицы) для N = 1 взят из первой строки таблицы рис.3.16 при п, равном 1. Январский объем производства (3 единицы) для N = 2 взят из той же строки при п = 2 и т.д. В случае N = 6 январский выпуск равен 4 единицам, а уровень запасов на начало февраля составляет 1 единицу (он равен i+x-d = 0+4-3). Следовательно, февральский выпуск (5 единиц) найдем из второй стро­ ки таблицы рис.3.16 при п = 5, поскольку уровень запасов на начало месяца те­ перь равен 1 единице. В свою очередь это означает, что уровень запасов на на­ чало марта составит 3 единицы (i+x-d = 1+5-3 = 3); поэтому выпуск продукции в марте будет нулевым, как это показано в таблице рис.3.16 для i =3 и п=4. На основе аналогичных рассуждений определим, что производство в апреле (п=3) должно быть равно 4 единицам, поскольку уровень запасов на начало апреля - нуль (i+x-d = 3+0-3 = 0). При таком выпуске уровень запасов на начало мая бу­ дет равен 0+4-3 = 1, так что майский выпуск (п =2) составит 5 единиц. Следова­ тельно, в июне оптимален нулевой выпуск, поскольку уровень запасов на нача­ ло месяца (п = 1) равен 1+5-3 = 3 единицам. Читатель может убедиться в том, что минимальная общая сумма затрат для N = 6 составит (21+1) + (23+3)+ +(0+0) + (21+1) + (23+3) + (0+0) = 96; эта сумма проставлена в клетке таблицы