тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdf14 |
xyzt v xyzt v x y z |
29 |
xyzt v x y zt v xzt |
|
15 |
x y ztv x y z t v xyz v xyzt |
30 |
xyzt v x y z t v x y z t v xyz |
|
|
^ , |
|
Таблица 2.6.4a |
|
Пример решения задания 2.6.4. |
|
|
||
Решим задание 2.6.4 для |
|
xy |
||
f(x,y,z,t) = x yzt v xy v x y tv xz t , |
вы |
|||
|
||||
брав в п.4 неисправность типа размыкания ровно одного контакта.
1.Построим таблицу функции f (х, у. z. I)
ввиде карты Карнау (табл. 2.6.4а).
2.Все единицы карты Карнау покрываем тремя прямоугольниками.
Соответствующая минимальная ДНФ будет иметь вид yzt v xt v x z .
Упростим |
формулу: |
yzt v x t v x z —yzt V x(t V z) .
Реализуем это представление контактной схемой (рис. 2.6.4):
3. При отыскании оптимального порядка разложения по методу каска
дов заметим, что | f x \= 6 , \ f y |= 2, | f z \= 2 , \ f t \= 2 .
Так, что на первом шаге разложение будем производить по перемен ной х, а на втором этапе можно проводить разложение по любой ос тавшейся переменной, например, по у.
Получаем:
f( x , y,z,t) = x ■/(0 , y ,z ,t) v x - /(1, у, z, t) =
— x - (y z t)v x - ( y v y t v zt) —
= x y zt V X '(y v t v zt) - x y zt V X '(y V /V z ) .
Разложение по у нет необходимости делать.
У
Строим контактную схему (рис. 2.6.4Ь):
4. Так как контактная схема, полученная в п.2, имеет более простой вид, будем работать с ней. _
у
Занумеруем все контакты схемы (рис. 2.6.4с):
©
Неисправность типа размыкания контакта означает, что при любых зна чениях аргументов соответствующий контакт разомкнут, т.е. реализует функцию 0. Разомкнутый контакт будем изображать пунктирной лини ей, а замкнутый - сплошной. Для каждого из единичных наборов функ ции на соответствующем изображении контактной схемы полюсы со единены цепью контактов из сплошных линий. На каждом же из нуле вых наборов функции такой цепи не найдётся.
Пусть / () (x .y .z j) = f(x ,y ,z ,t), а при неисправности / - го контакта схема реализует функцию f t(х, у, z, / ).
Если исправно работающая контактная схема на некотором наборе ар гументов принимает значение 0, значит, на её изображении между по люсами нет цепи из сплошных линий. Ясно, что при наличии неисправ ности типа размыкания контакта на том же наборе аргументов полюсы контактной схемы тем более не соединены цепью из сплошных линий.
Значит, на всех |
нулевых наборах функции f ( x ,y ,z ,t ) все функции |
/ (х, у, z,t), / = |
1,2,... ,6 также принимают значение, равное 0. |
При построении теста нас не интересуют наборы аргументов, на кото рых значения всех функций совпадают, поэтому напишем таблицу всех функций f(x ,y ,z ,t) , z =1,2,...,6, вписывая в неё только те наборы
аргументов, на которых исходная функция |
— |
равна 1. |
х |
При заполнении таблицы для каждого набора аргументов изобразим схему. Например, для набора (0,0,1,0) схема примет вид (pnc.2.6.4d):
Видим, что цепь из сплошных линий, соединяющая полюсы схемы, раз рывается, если разомкнут 4, 5 или 6 контакт, т.е. на наборе (0,0,1,0) зна чение 0 принимают функции f 4, f 5 и /6. Изобразим вид контактной схемы на всех единичных наборах функции f (х, y ,z ,t ) (рис.2.6.4е).
( 1,0,0, 1) |
|
( 1,0,1,1) |
( 1,0,0,0) |
х |
|
|
t |
У \ |
^ |
|
|
( 1,0, 1,0) |
(1,1,0,0) |
|
|
I |
у \ |
Z |
/ I |
( 1, 1,1,1)
Заполняем “таблицу неисправностей”, вписывая для каждого набора аргументов нули в столбцы, соответствующие функциям с номерами, записанными в кружочках. Получим следующую таблицу (табл. 2.6.4Ь):
Видим, что некоторые столб цы таблицы совпадают. Это означает, что неисправности типа размыкания одного кон такта неотличимы в случае разомкнутости 4, 5 или 6 кон тактов.
Объединяем неотличимые неисправности в классы неис правностей.
Получим 5 классов:
Таблица 2.6.4b
xyzt |
/о |
А Л /з Л / 5 /б |
|||||
|
|||||||
0100 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1000 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1001 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1010 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1011 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1100 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1101 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1111 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
g o = { / 0}, & 2 = { / 2}, ёъ = {/ъ ), &4 = { / ф / з а
строим таблицу классов неисправностей, таблицу, не содержащую оди наковых столбцов.
Отметим, что если в таблице присутствуют одинаковые строки, то мы ничего не потеряем, если для каждого набора одинаковых строк оста вим одного представителя, удалив остальные строки из таблицы.
Получим (табл. 2.6.4с):
Выясним, какие из наборов 1-5 войдут в минимальный тест. Для этого выпишем все сочета ния индексов {/, к}, и для каж
дого сочетания укажем номера наборов, на которых отличают ся функции g t и g k .
|
|
|
|
Таблица 2.6.4с |
||
№ |
xyzt |
go |
g\ |
82 |
£з |
84 |
1 |
0100 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
2 |
1000 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
1001 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1010 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
5 |
1111 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Будем иметь: |
0,1 |
ОД |
ОД. |
0,4 . |
1,2 |
1,3 |
2 v 3 v 5 ' |
2 : |
5 : |
1 v 4 : |
|
|
|
|
|
|
||||
1,4 |
2,3 |
2,4 |
3,4 |
|
|
|
I v 2 v 3 v 4 v 5 |
2 v 5 I v 2 v 4 |
I v 4 v 5 |
|
|
|
|
Теперь составим символическую КНФ из “знаменателей” полученных выражений К т. Будем иметь:
К т = (2 v 3 v 5) • 2 • 5 • (1 v 4) • (3 v 5) • (2 v 3) • (1 v 2 v 3 v 5) • (2 v 5) •
• ( I v 2 v 4 ) - ( l v 4 v 5 ) .
Упростим полученное выражение, применяя формулу поглощения.
Получим: К т = 2 • 5 • (1 v 4).
С помощью дистрибутивного закона преобразуем это выражение в ДНФ, тогда каждой символической конъюнкции будет соответствовать
минимальный тест. Имеем: К т = 2- 5- ( l v 4 ) = 2- 5- l v 2 - 5 - 4 .
В качестве минимального теста можно взять, например, совокупность 1, 2 и 5 наборов, т.е. найден минимальный тест
Tmin = {(0,1,0,0), (1,0,0,0), (1,1,1,1)}.
Задание 2.6.5
1.Построить таблицу значений функции, реализуемой данной контакт ной схемой.
2.Найти минимальную ДНФ с помощью карты Карнау, построить на её основе контактную схему, равносильную исходной.
Таблица 2.6.5
Таблица 2.6.5(продолжение)
3
4
5
6
7
8
9
10