тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

По определению инверсии, (2,1) е Р

1, так как (1,2) е Р.

И так далее, получаем : Р

1 = {(1,1), (2,1), (3,2), (2,2)}.

По определению композиции, (1,3)

так как существует 2, при­

чём (1,2) е ? и (2,3) е Р.

Продолжая дальше строить композицию,

Для данных графиков Р и Т решить относительно графика X

уравне­

ние

X оР = Т

при

условии,

что

\ Х \= 6,

npi X =

пр2 X =

={ 1,2,3,4,5,6}. Для каждого найденного X

указать

Р ° Х .

Таблица 1.2.3

№

Р

Т

1

(6,4), (2,4), (5,5),

(3,2),

(4,1)

(2,5), (3,2), (1,4), (6,1), (4,4)

2

(2,4), (3,3),

(4,1), (5,6),

(6,4)

(6,3), (1,4), (5,6), (4,4), (2,1)

3

(2,4), (3,2),

(4,1), (5,5),

(6,4)

(2,5), (4,4), (3,2), (1,4), (6,1)

4

(1,2), (4,1),

(2,6), (5,5),

(3,2)

(2,2), (1,5), (4,1), (6,2), (3,6)

5

(1,5), (6,6),

(2,3), (3,5),

(5,4)

(2,3), (1,4), (3,6), (4,5), (5,5)

6

(3,3), (6,1),

(2,1), (5,2),

(1,4)

(2,3), (4,1), (6,4), (1,1), (5,2)

7

(3,1), (6,5), (5,3),

(2,2),

(4,3)

(3,3), (4,1), (1,3), (6,5), (5,2)

8

(6,2), (4,4), (3,6),

(2,5),

(1,2)

(6,4), (3,6), (1,5), (5,2), (2,2)

9

(2,4), (5,5), (4,6),

(3,4),

(1,3)

(2,6), (4,4), (6,4), (1,3), (3,5)

10

(4,2), (5,2), (1,4), (2,3),

(6,6)

(2,2), (5,3), (1,4), (4,6), (3,2)

11

(6,3), (5,6), (2,2), (3,4),

(1,3)

(4,3), (5,6), (3,3), (6,2), (1,4)

12

(2,1), (1,3), (4,2), (6,1),

(5,5)

(2,5), (3,1), (4,2), (6,3), (1,1)

13

(2,2), (1,4), (3,6), (4,5), (6,4)

(3,6), (1,5), (5,4), (4,4), (6,2)

14

(5,1), (1,4), (3,3), (4,2), (6,4)

(4,4), (1,3), (5,1), (2,4), (6,2)

15

(4,2), (3,2), (5,3), (2,1), (6,6)

(3,6), (1,2), (5,3), (4,1), (2,2)

16

(6,1), (1,3), (2,2), (5,1), (4,6)

(1,1), (4,6), (5,3), (3,1), (6,2)

Таблица 1.2.3(окончание)

№

Р

т

17

(1,5), (2,5), (4,1), (5,3), (6,6)

(2,3), (3,5), (5,5), (1,6), (4,1)

18

(2,6), (6,3), (4,4), (1,2), (5,6)

(6,6), (2,4), (5,3), (1,2), (3,6)

19

(4,3), (5,4), (2,2), (1,3), (3,6)

(6,3), (1,6), (5,4), (3,3), (4,2)

20

(2,2), (4,1), (3,4), (5,3), (6,4)

(6,1), (4,4), (5,3), (1,4), (3,2)

21

(4,5), (5,2), (6,4), (3,3), (1,5)

(2,5), (1,2), (5,5), (4,3), (6,4)

22

(3,1), (4,4), (6,1), (2,3), (1,5)

(1,1), (5,1), (6,5), (2,3), (3,4)

23

(1,5), (5,2), (3,1), (6,6), (4,5)

(4,2), (1,6), (3,1), (5,5), (2,5)

24

(2,2), (6,4), (1,3), (3,6), (5,6)

(1,3), (3,2), (4,5), (5,4), (6,6)

25

(6,4), (3,5), (4,3), (1,1), (2,3)

(4,1), (6,4), (3,3), (2,5), (5,3)

26

(2,6), (4,1), (3,3), (6,1), (1,5)

(4,5), (1,1), (2,6), (6,3), (5,1)

27

(1,6), (5,5), (2,1), (4,6), (6,3)

(4,3), (1,5), (6,6), (3,6), (2,1)

28

(3,4), (2,5), (1,1), (4,2), (6,2)

(6,5), (2,2), (5,2), (4,1), (3,4)

29

(5,5), (2,1), (6,3), (3,4), (1,3)

(3,3), (2,1), (4,3), (1,5), (6,4)

30

(4,1), (3,1), (6,4), (2,2), (1,5)

(5,1), (4,2), (3,5), (1,1), (6,4)

Пример решения задания 1.2.3

Для данных графиков Р = {(5,3), (1,3), (4,4,), (2,1), (3,6)}

и

Т = {(1,4), (2,1), (6,3), (5,6), (3,3)} решить относительно графика

X

уравнение Х ° Р = Т

при условии, что

X |= 6,

пр]Х =

пр2Х

=

={1,2,3,4,5,б}. Для каждого найденного X

указать

Р ° Х .

Для каждой пары (а.Ь) е Т ищем пару

(х.Ь) е Р. Если такая пара су­

ществует, то (а,х) может принадлежать графику X .

Запишем множество А,

составленное из пар вида (а, х ) :

А = {(1,4), (2,2), (6,1), (6,5), (5,3), (3,1), (3,5)}.

Так как 4enp22f, то пара (4,х) е X.

Очевидно, что

х = 6,

так как

иначе в графике Т нашлась бы пара, начинающаяся на 4.

ходного уравнения. Согласно определения

композиции, выпишем

Р о Х х и Р о Х х : Р о Х , ={(1,5),(2,4),(3,1),(4,6),(5,5)},

Р о Х 2 = {(1,1),(2,4),(3,5),(5,1),(4,6)}.

Задание 1.2.4

Для графиков Р и Т из соотношения Р ° Х = Т

найти график X наи­

меньшей возможной мощности.

Таблица 1.2.4

№

Р

Т

1

(а, Ь), (а, с), ф, Ь), (с, Ь)

(а, а), (а, с), (а, Ь), ф, а), ф, с), (с, а), (с, с)

2

(а, Ь), ф, с), (с, с), (с, Ъ)

(а, с), ф, а), ф, Ъ), (с, а), (с, Ь), (с, с)

3

ф ,а),ф ,с),(а,с)

ф,Ь),ф,с),ф,а),(а,Ь),(а,а)

4

(а, Ь), (с, Ь), (а, с), (с, с)

(а, а), (а, с), (с, а), (с, с), (а, Ь), (с, Ъ)

5

ф,Ь),ф,Ь),ф,с)

(с, с), (с, а), (с, Ь), (а, с), (а, а), (а, Ъ)

6

ф, с), ф, а), (с, с), (а, с)

ф, Ь), ф, а), ф, с), (с, Ь), ф, а), (а, Ь). (а, а)

7

ф, с), (с, а), (а, а), (а, с)

ф, а), (с, Ь), (с, с), (а, Ь), (а, с), (а, а)

8

(с,Ь), (с,а ),ф ,а )

(с,с),(с,а),(с,Ь),ф,с),ф,Ь)

9

ф, с), (а, с), ф, а), (а, а)

ф, Ь), ф, а), (а, Ъ),(а, а), ф, с), (а, с)

10

(а, с),ф ,с), ф ,а )

(а, а), (а, Ь), (а, с), ф, а), ф, Ь), ф, с)

11

(с, а), (с, Ь), (а, а), ф, а)

(с, с), (с, Ь), (с, а), (а, с), (а, Ь), ф, с), ф, Ь)

12

ф,а),(а,Ь),ф,Ь),ф,а)

(с, Ь), (а, с), (а, а), ф, с), ф, а), ф, Ъ)

13

(а, c),(a,b),(c,b)

(а, а), (а, Ь), (а, с), (с, а), (с, с)

14

(с,а),ф,а),(с,Ь),ф,Ь)

(с, с), (с, Ь), ф, с), ф, Ь), (с, а), ф, а)

15

(а,Ь), (с,Ь), (с, а)

(а, а), (а, с), (а, Ь), (с, а), (с, с), (с, Ъ)

16

(с,Ь),(с,а),ф,Ь),(а,Ь)

(с, с), (с, а), (с, Ь), ф,с), ф, а), (а, с), (а, а)

17

(с, Ь), ф, а), (а, а), (а, Ъ)

(с, а), ф, с), ф, Ь), (а, с), (а, Ь), (а, а)

18

ф, с), ф, а), (с, а)

(Ь, Ь), (Ь,а), (Ь, с), (с, Ь),(с, с)

19

(с, Ь), (а, Ь), (с, а), (а, а)

(с, с), (с, а), (а, с), (а, а), (с, Ь), (а, Ъ)

20

(Ь,с), (а,с), (а,Ь)

ф, Ь), ф, а), ф,с), (а, Ь), (а, а), (а, с)

21

(а, с), (а, Ь), (с, с), ф, с)

(а, а), (а, Ь), (а, с), (с, а), (с, Ь). ф, а), ф, Ь)

Таблица 1.2.4(окончание)

№

Р

Т

22

(а,с),ф,Ъ),ф,Ъ),Ф,с)

(а, Ь), (с, а), (с, с), ф, а), ф, с), ф, Ъ)

23

(с,а),(с,Ь), (а,Ь)

(с, с), (с, Ь), (с, а), (а, с), (а, а)

24

(а,с),ф,с),(а,Ь),ф,Ь)

(а, а), (а, Ъ), ф, а), ф, Ъ), (а, с),ф , с)

25

(с,а),ф ,а), ф ,с)

(с, с), (с, Ъ), (с, а), ф, с), ф, Ъ), ф, а)

26

ф, а), ф, с), (а, а), (с, а)

ф, Ь), ф, с), ф, а), (а, Ь), (а, с), (с, Ь), (с, с)

27

ф, а), (а, с), (с, с), (с, а)

ф, с), (а, Ъ), (а, а), (с, Ь), (с, а), (с, с)

28

(а, Ь), (а, с), ф, с)

(а, а), (а, с), (а, Ъ), ф, а), ф, Ъ)

29

ф, а), (с, а), ф, с), (с, с)

ф, Ъ), ф, с), (с, Ъ), (с, с), ф, а), (с, а)

30

(а, Ь), (а, а), (с, а)

(а, а), (а, с), (а, Ъ), (с, с), (с, Ъ), (с, а)

Пример решения задания 1.2.4

Для графиков

Р —{(b,а), (с, а), (с, b)}

и

Т —{(b,b),(b,c),(b,a),(c,b),(c,c),(c,a)}

из соотношения Р ° Х = Т

найти график X наименьшей возможной мощности.

Найдём инверсию графика Р :

Р 1= {(a,b),(a,c).(b,c)\ .

Пусть X -

график наименьшей мощности, являющийся решением

уравнения Р ° X = Т . Из определения композиции графиков и мини­

мальности X

следует, что пр2 Р = пр; X

= {а, Ь ).

Найдём композицию графика Р

1 с левой и правой частями равенства

Р ° Х = Т . Получим:

5) Соответствие инъективно, так как его график G не содержит пар с

одинаковыми вторыми и различными первыми координатами.

3. Найдём образ Г (А) и прообраз Г

] (В).

Г (А) = {1,2,5},

так как А = {а,Ь}

и {(а,2), ф, 1), ф,5)} cz G .

Г~1(В) = {с/},

так как В —{3,4} и только (с/,4) е G.

а) Построенное соответствие не всюду

определено, так как пр; G —[0,1] Ф X .

Р) Построенное соответствие не сюръек­

тивно, так как пр2 G = [—1,1] Ф Y.

у) Построенное соответствие не функ­

ционально,т.к., например, (0,1) е G и

(0, - 1) gG.

Рис. 1.3.16

8) Соответствие инъективно, так как его

график не содержит пар с различными