тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdf3 |
0101 1111 |
13 |
0100 0100 |
23 |
1011 1011 |
4 |
1000 1000 |
14 |
11110011 |
24 |
1111 1100 |
5 |
1010 0000 |
15 |
0000 0101 |
25 |
01100110 |
6 |
1100 1111 |
16 |
0000 0011 |
26 |
1010 1111 |
7 |
0010 0010 |
17 |
00110000 |
27 |
1010 1010 |
8 |
1100 0011 |
18 |
1101 1101 |
28 |
1110 1110 |
9 |
0000 1010 |
19 |
11110101 |
29 |
0001 0001 |
10 |
10011001 |
20 |
01110111 |
30 |
0011 1111 |
Пример решения задания 2.1.3 |
|
|
|
|
|||
Для данной функции f (x, y, z) = (0101 1010) |
|
|
|
|
|||
1. Выяснить, |
какие её переменные являются |
|
Таблица 2.1.3а |
||||
существенными, а какие - фиктивными. |
X |
У |
Z |
/ |
|||
2. Выразить |
f ( x , y , z ) формулой, содержа |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
||||
щей только существенные переменные. |
|||||||
0 |
0 |
1 |
1 |
||||
1. Переменная х является существенной для |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||
данной бф, так как, например, наборы (0,0,0) и |
0 |
1 |
1 |
1 |
|||
(1,0,0) являются соседними по переменной х |
1 |
0 |
0 |
1 |
|||
и /(0 ,0 ,0 ) * /(1 Л 0 ). |
1 |
0 |
1 |
0 |
|||
Переменная |
z |
является существенной для |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
||||
данной бф, так как, например, наборы (0,0,0) и |
|
|
|
|
|||
(0,0,1) являются соседними по переменной z |
|
|
|
|
|||
и f (0 ,0 ,0 ) Ф/(0,0,1). |
|
|
|
|
|||
Переменная у |
является фиктивной для данной бф, |
так как на |
всех на |
||||
борах, соседних по переменной у, |
значения функции равны, то есть вы |
||||
полняются равенства: |
|
|
|
|
|
/ ( 0,0,0) = / ( 0,1,0), / ( 1,0,0) = / ( 1,1,0), |
Таблица 2.1.3в |
||||
X |
г |
|
|||
/ ( 0,0,1) = / ( 0,1,1), / ( 1,0,1) = / ( 1,1,1). |
/ |
||||
|
|
||||
2. Выпишем таблицу функции / , |
как функцию |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|||
только от существенных переменных (табл. 2.1.3в): |
|||||
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
1 |
1 |
0 |
|
Видим, что функция /( х , z) = х + z.
Задание 2.1.4
1.Написать таблицу булевой функции f (х, у, z), заданной формулой.
2.Найти фиктивные переменные данной функции.
3.Преобразовать данную формулу в эквивалентную ей, но не содержа щую фиктивных переменных.
|
|
|
Таблица 2.1.4 |
№ |
f (x, y, Z) |
№ |
f ( x, y, Z) |
1 |
x y z v x v y v z v x y v x y z |
11 |
x y z v x v y v z v y z v x y z |
2 |
x y z v y z v XV XV у V z |
12 |
x y z v x y v y z v x v y v z |
3 |
x y z v x y v x v y v z v x y z |
13 |
y z v x y z v XV у v z v x y z |
4 |
x y z v x v y v x y z v x v y v z |
14 |
xy z v y v ZV XVy v z v xy z |
5 |
y z v xyzv xyzv xyv xv y v z |
15 |
x z v x y z v x v y v z v x y z v y z |
6 |
x y z v XVу V XV y v z v xyz |
16 |
x y z v y v z v x y z v XV y v z |
7 |
x y z v xyz v XV y v xyz |
17 |
x y z v x y z v y v z v x y z |
8 |
x y z v y z v XZV XV y v z |
18 |
x y z v x z v x y v X V y v z |
9 |
x y z v x v y v x y z v x v y v z |
19 |
x y z v z v y v x y z v x v y v z |
10 |
x y z v y z v x y v x v y |
20 |
x y z v x z v y z v y v z |
Таблица 2.1.4(окончание)
№ |
f (x, y, Z) |
№ |
21 |
x y ZV XV y v z v x z v xyz |
26 |
22 |
xv y v z v xy z v xyzv XVy v z |
27 |
23 |
x z v xyz v xyzv XVу Vz |
28 |
24 |
x y z v XV z v xyzv XVу Vz |
29 |
25 |
x y v xyzv xyzv XZVXVy v z |
30 |
f ( x, y, Z)
xy z v XV z v xyzv XVу Vz xyzv xyzv XVy v z v xyz x y z v x y v XV y v z v y z
x y z v X V Z V X V y v z v x y z
x y z v x y v XV z v xz
Выполним задание 2.1.4 для функции |
|
|
|
|
f (x,y,z) = x y v y z v x y z v y z v XV y v |
z |
Таблица 2.1.4а |
||
1. При отыскании таблицы значений |
для данной |
|||
xyz |
/ |
|||
функции (табл. 2.1.4а) заметим, что из определе |
||||
|
||||
ния дизъюнкции и конъюнкции следует, что для |
000 |
0 |
||
построения таблицы функции, имеющей вид |
001 |
1 |
||
дизъюнкции нескольких выражений, нужно найти |
010 |
1 |
||
единичные наборы для каждого из этих выраже |
011 |
1 |
||
ний, тогда объединение множеств единичных на |
100 |
0 |
||
боров и даст множество единичных наборов ис |
101 |
1 |
||
ходной функции. |
|
110 |
1 |
|
2. Рассмотрим пары наборов, соседних по пере |
111 |
1 |
||
менной х и значения функции на этих наборах: |
|
|
||
/( 0,0,0) = / ( 1,0,0) = 0; / ( 0,0,1) = / ( 1,0,1) = 1;
/( 0,1,0) = / ( 1,1,0) = 1; / ( 0,1,1) = / ( 1,1,1) = 1.
Значит, х - фиктивная переменная.
Так как /(0,0,0) Ф/(0,0,1), значит z - существенная переменная.
Неравенство /(0 ,0 ,0 )Ф /(0,1,0) показывает, что у - также существен
ная переменная.
3. Преобразуем формулу к виду, не содержащему фиктивной пере менной.
x y v y z v x y Z V у Z V X V у v z = x y v у z v x y z v y z v x y Z = = x y v y z v y z v x y z = x y v ( y v y ) z v x y z = x y v l - z v x y z = = x y v z v x y z = x y v z v x y = z v x y v x y = z v ( x v x ) y =
= z v l - y = z v у Итак, f(x,y,z) = zvy.
2.2. Булевы функции и теория множеств
Пусть множества В \ , В т составлены из множеств А1,А2 ,...,Ап с
помощью формул, содержащих теоретико-множественные операции и,
п,\,А ,-.
Тогда любому из множеств |
Bt, i = 1,... ,т можно поставить в соот |
|
ветствие булеву функцию |
f](ci\ . а2 ...ап). / = |
т, полученную из |
формулы, задающей |
Bt, заменой имён множеств At на символы пере |
||
менных аг, |
символ |
и заменяется на v, п на л , \ на -/> , А на +, |
знак |
дополнения |
— понимается, как отрицание. Тогда В\ = В2 СД> f |
= / 2, |
|
В\ с: В2 <=>f\ —» / 2 = 1, Bl п В2 —0 С=>/1 л / 2 = 0.
Если между множествами Bi,B2,...,Втзаписано соотношение, содер
жащее кроме символов теоретико-множественных операций, символы:
х (декартово произведение), с (включение), = (равенство), |
0 (пустое |
множество), U (универсальное множество), то в соответствующей фор |
|
муле для булевой функции делается замена хн ал , с на |
= на <-», |
0 на 0, U на 1. |
|
Тогда исходное соотношение будет истинным для любых множеств
/)|,В2 В/птогда и только тогда, когда соответствующая этому соот
ношению булева функция будет тождественно равна 1.
Задание 2.2.1
Выяснить взаимное расположение множеств D, Е, F, если А, В, С -
произвольные подмножества универсального множества U.
Таблица 2.2.1
|
D |
В и С |
|
1 |
Е |
( В п С ) и ( С \ ( А п В ) ) |
|
|
F |
( В п С ) и ( В п ( С \ А ) ) |
|
|
D |
( А л С ) и ( В п А ) |
|
3 |
Е |
А и С |
|
|
F |
(.А\С)и(ВпС)и(С\А) |
|
|
D |
(СпВ)и(А\В)иАиС |
|
5 |
Е |
А и В и С |
|
|
F |
(А&В)и(Сг,А)иСиВ |
|
|
D |
АлСи ( С\ В ) |
|
7 |
Е |
( Вп С \ А ) и ( С п А ) |
|
|
|||
|
F |
А и С и В |
|
У |
D |
А л С и ( А п В ) |
|
Е ( Ап С ) и ((А\В)\С) |
|||
|
|||
|
F |
А и С |
|
11 |
D |
(АлВ)и(С\А) |
|
Е |
((АиС)\В)и((СиВ)\А) |
||
|
F |
А и ( А \ В ) |
|
13 |
D |
А л С и ( Х \ В ) |
|
Е |
А и С |
||
|
|||
|
F |
( АпС) и ( Сп ( А\ В)) |
|
D |
А и В и ( С п А ) |
15 Е |
А и В |
|
D |
(.АпВ)и(А\С)иВиС |
2 |
Е |
А и В и С |
|
F |
( В п С ) и ( В п А ) |
|
D |
( В п С ) и А и С |
4 |
Е |
((ВиС)\А)и(СпВ)) |
|
F |
А и С |
|
D |
А и В и ( С п В ) |
6 |
Е |
( ВпА) и ( Сп( В\ А)) |
|
F |
А и С |
|
D |
( А \ С ) и А и В |
8 |
Е |
(ВпА)и((А\В)\С) |
|
F |
( А \ С ) и В |
|
D |
( ВпС \А) и (С \В) |
10 Е |
А и С и ( С п В ) |
|
|
F |
А и С |
12 |
D |
А&Си(Сп(В\А)) |
Е |
(АпВ)и((С\В)\А) |
|
|
F |
А и В |
14 |
D |
( АлВ ) и ( СпВ ) |
Е |
А и В |
|
|
F |
(В\А)и(АпС)и(А\В) |
Таблица 2.2.1(окончание)
D |
( СпВ) и ( В\ А) иАиС |
|
16 |
||
( АпС) и( СпВ) |
||
Е |
|
F |
((С и А) \В) и (С п А)) |
|
17 |
D |
(АпС)и(В\С)иАиВ |
|
Е |
(С&В)и(ВпА)иСиВ |
||
|
F |
С и А и В |
|
19 |
D |
АлВи( А\ С) |
|
Е |
В и С и А |
||
|
F |
( А п С \ В ) и ( А п В ) |
|
21 |
D |
А и В |
|
Е |
( АпВ) и((В\ С)\ А) |
||
|
|||
|
F |
А л В и (С п В) |
|
23 |
D |
( В \ С ) и В |
|
Е |
(ВлС)и(А\В) |
||
|
|||
|
F |
((ВиА)\С)и((СиА)\В) |
|
25 |
D |
В и С |
|
Е |
((Са В) п В) и (Сп (АиВ)) |
||
|
|||
|
F |
( В п А ) и ( В п С ) |
|
27 |
D |
(СпВ)и(В\ А)иАиС |
|
Е |
А и В и С |
||
|
|||
|
F |
(СпВ)иСиА |
|
29 |
D |
( А л В ) и ( С п В ) |
|
Е |
В и А |
||
|
|||
|
F |
(А\В)и(АпС)и(В\А) |
Примеры решения задания 2.2.1
Пример 1.
F
D
18
Е
F
D
20
Е
F
D
22
Е
F
D
24
Е
F
D
26
Е
F
D
28
Е
F
D
30
Е
F
А и С и В
( А п С ) и В и С А и В
(ВпС) и( Ап( С\ В))
СиВи ( В \ А ) (В\А)иС
(ВпС)и((В\С)\А)
Аи В и ( С п А )
Аи ( А \ В )
( А п С \ В ) и ( ( А \ С )
ВаС и ( Ап ( С \В))
В и С
(ВпС)и((А\С)\В)) ((А\ В ) п С ) и А и С
( АпС)и(А\(СпВ))
Аи С
Аи В и ( С глА) ((С и А) \ В) и (Сп А)
Ви А
( А п С ) и С и В
(ВпС)и(Ап(С\В))
В и А
Выяснить взаимное расположение |
множеств |
D-(B\C)yj(A\B), |
Е = А\(В\С), /• = A y.j В. если А, В, С |
- произвольные подмножества |
|
универсального множества U. |
|
|
Найдём соответствующие булевы функции: |
|
|
f D(a,b,c) = ф -В с) v (a -f>b), f E( a, b ,c) - a ~/>(b ~/>c) , |
||
f F (a, b,c) = a v b и, построив таблицы, найдём векторы значений этих функций: f D =(0010 1110), f E =(0000 1101), f F =(0011 1111).
Так как множество единичных наборов функций f D и f E строго вклю чены в множество единичных наборов функции f F , то f D —» f F =1 и
/ e ^ / f = I |
н0 |
|
1е ф I f * значит O c F |
и E u F . |
Выясним взаимное расположение множеств D и Е : |
|
|||
Ь ( 0 ХВ) = \ и f E( од,о; = о |
|
|
||
f D( \ \ \ ) = О |
и |
f E( \ \ \ ) = 1 |
} => |
EQDD |
f D( 1,1,1) = 0 |
и |
f E(\B B ) = \ |
^ D n E * 0 |
|
Пример 2. Решить задание |
2.2.2 |
для множеств E = B aC u (BA) |
D = А и С и (В п С ) и (В п С ) F = B u C . |
||
Найдём соответствующие булевы функции и векторы их значений: |
||
f E =b + c v(bA>a) = ( 1011 |
1001 ) |
|
f D - a v c v (b а с ) v (b v c ) - |
(1011 |
1001) |
f F = b v c = (1011 1011)
Так какf E = f D, то E =D. Заметим, что f E Ф f F , и, построив табли цу, можем убедиться, что f E —>f F = 1.
Значит, справедливы соотношения: Е = D с: F .
Задание 2.2.2
Проверить, что для любых множеств А, В, С выполнение включения а
влечёт выполнение включения (3.
№а
1А п В и С
2А п В и С
3А п В сС
4А п В и С
5А п В сС
6А и В и С
7А и В и С
8А и В и С
9А и В и С
10А и В и С
11А и В и С
12А и В сС
13А и В сС
14А и В и С
15А и В сС
16А и В \ С
17А и В \ С
18А и В сС
19А и В и С
20А и В сС
21В \ С и А
22В \ С и А
23В \ С и А
24В \ С и А
25В \ С и А
Таблица 2.2.2
Р
Аи В и ( А л В ) и ( А п С )
А\ С и ( А \ В ) и С
A aC cz ( А \ В ) и С
(B \C ) u ( A \C ) u A aB
В( В \ А ) и > С
A aC u (Au B) u C
А\ В и А глС
Аи В и В и С
( А \ В ) и ( А п С ) < пС
( А \ С ) и ( В \ С ) и В
(.А \ В ) \ С < пС \ А
АаВ < и ( Ап В ) иС
Ап С и А и ( В \ А )
АглВи( ВслС) и( АслС)
В \ А и В г л С А п В и А \ С
С г л В и В \ А
A aC u CXA
(.В \ С ) и ( А \ В ) < и А п С В и А и ( С \ А )
А и В <и(В пС)и А
ВлСиСи(АпВ)
В\Аи(С\А)и(АпВ)
ВпСи(ВпА)
В аС с С и А
№а
26В \ С ^ А
27В ^ С \ А
28В<^С\А
29В ^ С \ А
30В<^С\А
Пример решения задания 2.2.2
Таблица 2.2.2(окончание)
Р
В ^ С и ( А \ С )
A vj(B\C)<^A\B
( A \ B ) u ( ( B \ Q \ A ) c A ( B \ Q u ( B \ A ) c B n C
С и В ^ ( С \ А ) и ( С \ В )
Проверить, что для любых множеств |
А, В, С выполнение включения |
А\В с С влечёт выполнение включения |
С д ^ с (^ 4 п 5 ) и С . |
Составим булеву функцию, соответствующую высказыванию, которое надо доказать:
f (а,Ъ,с) = ((a -f>b) —» с) —» (с + а —»а л 6 v с)
Построим таблицу, убедимся, что заключительный столбец, являющий ся вектором значений функции f {а, Ь, с) состоит из одних единиц, что
доказывает справедливость требуемого утверждения.
Задание 2.2.3
Для произвольных множеств А, В, Н проверить, является ли выполне ние включения а необходимым и достаточным условием выполнения равенства |3.
№а
1А ^ В \ Н
2А < ^ В \ Н
3А ^ В \ Н
4А < ^ В \ Н
5А ^ В \ Н
Таблица 2.2.3
Р
Н\ А - Н ,и ( А \ В )
Н= ( Н \ А ) и ( ( А \ В ) \ Н )
Дпй = (Д\Я)и(Д\5)
В - ( Aa B ) vj( A \ H )
А и В = ( В \ Н ) и ( В \ Л )
A ^ B \ H
№a
7А с 5 \Я
8A ^ B \ H
9A ^ B \ H
10A ^ B \ H
11A<^B\H
12A<^B\H
13A ^ B n H
B \ A = (AaB ) u ( B ^ H )
Таблица 2.2.3(окончание)
Р
А&Н = Н'и(АглВ)
А аВ = ( В \ А ) ^ ( Н глВ)
A v H = ( H \ A ) v ( ( A r \ B ) \ H )
АслВ = ( А \ В ) \ Н
А\ Н = Агл(В'иН)
А\ В = А г \ В Г\Н
Н = (AaH ) u (В п А)
14A ^ B n H Avj B = (BrAH)vj(B\A)
15А ^ Вг лН AAB = (B\H) yj( B\ A)
16A ^ B n H
17A c B n H
18A c B n H
19А ^ В п Н
20А ^ В п Н
21А и В ^ Н
22А и В ^ Н
23А и В ^ Н
24А ' и В ^ Н
25А ' и В ^ Н
26A u B ^ H
27A u B ^ H
28A n B ^ H
29A n B ^ H
30A n B ^ H
В \ Н = ( А \ В ) и ( ( В \ А ) \ Н ) ( В \ А ) \ Н = ( В \ Н ) и ( А \ В )
Ап В = ( А \ В ) и ( А п Н )
А\ Н = ( А п Н ) \ В
Н \ А = (АаН ) ^ ( А \ В )
В \ А = ( А \ Н ) ^( ( Вг лН ) \ А )
A y j H = H ^ j ( B\ A )
АглН = A v j ( B \ H )
H \ A = ( A a H ) kj( B\ A)
B a H = (A\B)^j ( H \ B )
Ап,В = ( ( ААВ )\ Н ) и( АпВг лН )
А а В = (Я n (А а В)) u ((A n В) \ H)
H \ A = ( Aa H ) \ ( A \ B )
B \ H = ( B \ A ) \ H
AvjB = (AAB)u(BnH)