тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdfСложность схемы равна |
количеству функциональных элементов, её |
образующих, т.е. 8. |
|
Задание 2.6.2 |
|
1. Представить функцию |
/ ( х 1;х2,х3,х4,х5) декомпозицией вида |
g(Xj,xk ,x p ,h(xr xm,хп)), |
где xj,xk ,xp ,xj,xm,xn - некоторая переста |
новка переменных Х|,х2,х3,х4,х5.
2.Реализовать найденную декомпозицию схемой с ветвлениями, ис пользуя функциональные элементы типа отрицание, конъюнкция и дизъюнкция. Указать сложность полученной схемы.
3.Построить минимальную ДНФ с помощью карт Карнау, указать сложность найденной формулы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6.2 |
|
№ |
/ |
|
|
/(х1,х2,х3,х4,х5) |
|
|
||||
1 |
1 |
1-01 |
1101 |
10-- 1-0- |
1-1 - 111 - |
000 - |
-011 |
|||
2 |
2 |
1-1 - 00-0 |
0-01 -001 |
--0 - |
11-0 |
01 -1 0-01 |
||||
3 |
3 |
11001 -0 |
1-11 |
0-00 |
1-11 011 - |
111 - |
011 - |
|||
4 |
4 |
-011 |
-000 |
-111 |
|
-000 |
1-10 100- |
11-0 -001 |
||
5 |
5 |
0-10 -000 |
10-0 |
01 -1 |
0010 |
-11 - |
--11 -11 - |
|||
6 |
1 |
-001 |
--01 |
1-01 -101 |
--11 1--1 |
00-0 001 - |
||||
7 |
2 |
-11 - 0-00 |
0-- 1 -00 - 00-0 |
-10- |
-101 -10- |
|||||
8 |
3 |
-1-0 010 - |
11-- |
01 -0 |
11-- |
0110 |
--11 |
0110 |
||
9 |
4 |
0-1 - 00 -- |
01 -1 0-00 |
10-- |
10-1 |
1-1 - 100- |
||||
10 |
5 |
-010 -00 - |
-1 -- 0101 |
-01 - 0-11 |
-1 -1 1--1 |
|||||
11 |
1 |
10-- 11-1 |
-001 |
1-01 |
-1 -1 |
11-1 |
0-0- 0-11 |
|||
12 |
2 |
--11 00-0 |
-001 |
|
0001 |
--00 |
1-00 |
010 - |
-101 |
|
13 |
3 |
1-00 -100 |
1-11 |
01 -0 1-1 - 011 - 1--1 0-10 |
||||||
14 |
4 |
--11 00-0 |
011 - -00 - |
1010 |
-001 |
-110 -0-1 |
||||
15 |
5 |
00-0 00-0 |
1010 |
|
0-01 |
0-10 -111 |
1-11 --1 - |
|||
16 |
1 |
-00 - |
1-01 |
-0-1 |
110- |
111- |
11-1 |
000 - 0-- 1 |
||
17 |
2 |
111 - |
00-0 |
о |
000 - |
000- |
1 -00 - 101 |
о |
|
1 1 о |
1 1 о |
||||||||
18 |
3 |
- 10 - 01 -0 1 -11 |
0-00 |
1 -11 |
--10 |
111 - |
0110 |
||
19 |
4 |
001 - |
-ООО |
-111 |
00-0 |
101 - |
1001 1 -1 - |
1001 |
|
20 |
5 |
0 - 1 - 000 - |
101 - |
01 - 1 |
00-0 |
01 - 1 |
11-1 |
111 - |
|
21 |
1 |
10 - 1 |
110 - |
1-01 |
- 101 |
-111 |
-11 - 0-00 |
0011 |
|
22 |
2 |
-1 -1 |
0 - 0 - |
-0 -- |
0001 |
- 0 - 0 |
1100 |
-1 -1 |
0101 |
23 |
3 |
1100 |
- 10 - |
-111 |
010 - |
-1 -1 |
0 - 10 1 -11 |
- 1 - 0 |
|
24 |
4 |
0 - 11 |
-000 |
0-11 |
0-00 |
1 - 10 |
10 - 1 |
111 - |
10-1 |
25 |
5 |
-01 - 0-00 - 0 - 0 |
0-01 |
-01 - 0 -- 1 1 -11 1 -11 |
|||||
26 |
1 |
1001 |
11 -1 |
1-01 |
- - 0 - |
1 -11 |
1 -1 - 0-00 |
0- 1 - |
|
27 |
2 |
111 - |
0-00 |
0-01 |
0-01 |
00-- |
110 - |
0101 |
01 - 1 |
28 |
3 |
- 100 |
01 -- |
1111 |
010 - |
1 -1 - |
01 -0 1111 0-10 |
||
29 |
4 |
001 - |
0000 |
01 - 1 |
00-0 |
10-0 |
1001 |
--1 - |
10-1 |
30 |
5 |
0 - 10 |
00-- |
101 - |
01 - 1 |
001 - |
0111 |
-1 -1 |
111 - |
Пример решения задания 2.6.2 |
|
||
Решим задание 2.6 .2 для |
i = 5 и функции |
||
/ ( х 1,х2,х3,х4,х5) = (10-1 |
0 |
--0 |
--01 -1-- 0-10 010- 1--0 --1-). |
Выпишем значения функции |
/ |
в виде таблицы (табл. 2.6.2а): |
|
Таблица 2.6.2а
\Х3Х4 Х5
|
0 0 |
0 |
00 |
1 |
0 1 |
0 |
0 1 1 |
100 |
101 |
110 |
111 |
х 1х 2 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
0 |
|
- |
|
1 |
0 |
- |
0 |
- |
|
01 |
- |
|
- |
|
0 |
|
1 |
- |
1 |
- |
- |
10 |
0 |
|
- |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
- |
|
11 |
1 |
- |
|
- |
|
0 |
- |
- |
1 |
- |
|
Выясним, возможна ли декомпозиция вида
f |
= g(x 5 |
,xl,x2 |
,h(x5 ,x3 ,x4)) |
(*) или |
f |
= g(x 5 |
,x3 ,x4 |
,h(x5 ,xv x2)) |
(**) |
Для этого выпишем двумерные таблицы функции |
f для х5 = О и |
|||||||||
х5 |
= 1 |
так, чтобы в заголовках строк и столбцов были написаны наборы |
||||||||
XjX2 и х3х4 соответственно. Получим (табл.2.6.2Ь): |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.б.2Ь |
|
\ |
Х ЪХА |
01 |
11 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|||
|
ххх:2 " |
|
|
|
Я Л ' " |
|
|
|
|
|
|
00 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
- |
00 |
- |
- |
||||||
|
01 |
- |
0 |
- |
- |
01 |
- |
1 |
1 |
- |
|
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
11 |
- |
0 |
1 |
- |
|
10 |
1 |
- |
- |
1 |
10 |
- |
0 |
- |
- |
|
|
х5 |
= 0 |
|
|
|
|
х5 = 1 |
|
|
Как видим, таблица функции f , соответствующая х5 = 0, не доопреде
лима так, чтобы использовались столбцы только двух типов и не дооп ределима до вида, в котором используются строки только двух типов. Значит, декомпозиция вида (*) или (**) невозможна.
Проверим, допустима ли декомпозиция вида
f = g(x5 ,x2 ,x3 ,h(x5 ,xl,x4)) или / = g (x5,x1,x4,/7(x5,x2,x3)).
Для этого выпишем двумерные таблицы функции f для х5 = О и
х5 = 1 так, чтобы в заголовках строк и столбцов были написаны наборы
х2х3 и Х|х4 соответственно. Получим (табл.2.6.2с):
Таблица 2.6.2с
- \Х з * 4 |
00 |
01 |
11 |
10 |
\ Х 3Х4 |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
X jX ^ |
*1*2^ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
00 |
1 |
|
0 |
1 |
00 |
0 |
1 |
|
0 |
|
01 |
0 |
0 |
0 |
0 |
01 |
- 1 |
- 1 |
1 |
- 1 |
|
11 |
- 0 |
0 |
1 |
- 0 |
11 |
- 0 |
1 |
- 1 |
0 |
|
10 |
- 1 |
- 1 |
- 1 |
1 |
10 |
1 |
- 0 |
- 0 |
- 1 |
|
|
I |
I |
II |
I |
|
I |
II |
II |
I |
|
|
х5 = 0 |
|
|
|
|
х5 = 1 |
|
|
||
Видим, |
что |
в этом случае обе таблицы допускают доопределение до |
||||||
столбцов двух типов. |
|
|
|
|
|
|||
Для |
х5 = О |
столбцам |
I |
типа |
соответствует |
функция |
||
ф<'°\х 2,Хз) = (1001) = Х2 Хз v х2х3, |
|
а столбцу II типа - |
функция |
|||||
i|/0)(x2,x3) = (0101) = х 2. |
|
|
|
|
|
|||
Введём функцию |
|
|
|
|
|
|
||
/0ч |
|
[1, |
если набор (х^х^ |
соответствует строке I ти- |
||||
|
’ *^4 |
|10, |
если набор (х1,х4) |
соответствует строке II |
типа |
|||
Вектор значений |
h (i),{X\ ,х4) равен (1101), значит, |
|
||||||
/г<-0-)(х1,х4) = Xj v Х4 |
|
|
|
|
|
|||
/ (х1 ,х2,х3,х4,0) = h^°\xl,х4) • ф^^Хг,х3) v h^°\xl ,х4) • \|/°)(х2,х3) =
= (Х[ VX4)(X2X3VX2X3) VX[ v х 4 ■х2
Рассмотрим таблицу, соответствующую х5 =1.
Столбцам |
I типа соответствует функция ф*- l (hc2 ,x3) = (0101) = х3, |
||
столбцам II типа - функция \ |/ 1 (х2,х3 ) = (1110) = хг v хз. |
|||
Введём функцию |
|
|
|
m |
fl, |
если набор (х,,х4) |
соответствует строке I типа |
h> Дх1,х4) = ( |
если набор (х,,х4) |
соответствует строке II типа |
|
|
10, |
||
Вектор значений h<] >(х],х4 ) равен (1001), значит,
h (1)(Х.лД = Х1Х4 v хгх 4.
f { x x,x2 ,xъ,х4 Х) = ^ у\ х х,х4) ■gf-l\ x 2 ,x3)\/ |
■ ^ у\ х 2 ,хъ) = |
= (XjX4 VXjX4)x3 VXjX4 vXjX4 -(x2 vXj)
Получаем искомое представление для f :
f i x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) = x 5 ■f(xl,x2,x3,x4,0 ) v x 5 ■f(xu x2,x3,x4,l) =
= X5((X[ VX4)(x2X3 VX2X3)VX! v x 4 •x2) v x 5((xix 4 VX[X4)x3 VXjX4 VXjX4 -(x2 VXj )).
2.Реализуем это представление схемой с ветвлениями.
Ввиду громоздкости полученного выражения реализуем схемами S q |
и |
||
S i соответственно / ( х 1,х2,х3,х4,0) и / |
(х1,х2,х3,х4,1) , а саму функ |
||
цию реализуем блок-схемой S.__________________________ _ __ |
__ |
||
/ V |
/\ |
|
|
|
А/ |
X/ |
|
/\ |
|
|
|
Лч/ |
|
л/ |
|
|
Рис.2.6.2а |
Рис.2.6.2Ь |
|
Рис.2.6.2с
|
|
|
Таблица 2.6 |
.2d |
||
Х4 |
Х 5 |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
х ^ х 2 |
х 3 |
|||||
|
|
|
|
|||
ООО |
1 |
0 |
1 |
- |
||
001 |
0 |
- |
- |
0 |
||
011 |
- |
1 |
- |
- |
||
010 |
- |
- |
1 |
0 |
||
100 |
0 |
- |
0 |
1 |
||
101 |
0 |
1 |
- |
0 |
||
111 |
- |
- |
- |
1 |
||
110 |
1 |
- |
0 |
- |
||
Сложность построенной схемы равна 24.
3. Найдём минимальную ДНФ с помощью картыКарнау (табл. 2.6.2d).
а
Все единицы карты Карнау могут быть покрыты двумя двухслойным л
прямоугольниками и тремя однослойными. Минимальная ДНФ будег иметь вид:
х3 • х5 V х2 • х3 • х4 • х5 V Xj • Х2 •х3 • х5 V Xj • х4 • х5 V Xj • х2 • х5
Её сложность равна 16.
Задание 2.6.3 1. С помощью частных производных найти оптимальный для метода
каскадов порядок дизъюнктивного разложения функции f (х, у, z, w) по её переменным на первых двух этапах.
2. Используя результаты п. 1, построить контактную схему методом кас кадов, указать сложность построенной контактной схемы.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6.3 |
|
№ |
|
f (x ,y ,z ,w ) |
|
№ |
|
f(x,y,z,w ) |
|
||
1 |
1110 |
0110 |
1010 |
1101 |
16 |
0111 |
0101 |
1101 |
1111 |
2 |
0011 |
1100 |
1101 |
0111 |
17 |
0010 |
1011 |
1101 |
1110 |
3 |
0110 |
1101 |
1100 |
1111 |
18 |
0011 |
1110 |
1101 |
0000 |
4 |
1110 |
0111 |
1100 |
0111 |
19 |
0101 |
1010 |
1111 |
1101 |
5 |
0010 |
1110 |
1111 |
0011 |
20 |
0101 |
1101 |
1110 |
0011 |
6 |
1110 |
1101 |
0010 |
1111 |
21 |
0010 |
1101 |
1001 |
0110 |
7 |
1110 |
1010 |
0010 |
0110 |
22 |
1110 |
1101 |
0101 |
1010 |
8 |
1110 |
1000 |
1111 |
0110 |
23 |
0010 |
1010 |
1110 |
1111 |
9 |
1101 |
0110 |
1110 |
0001 |
24 |
0110 |
1001 |
1100 |
1101 |
10 |
1011 |
0111 |
1010 |
0110 |
25 |
0010 |
0000 |
1000 |
1110 |
11 |
1101 |
0001 |
0010 |
1111 |
26 |
0010 |
1010 |
0001 |
1111 |
12 |
1110 |
0100 |
1110 |
1001 |
27 |
0101 |
1101 |
0000 |
1011 |
13 |
0001 |
1000 |
1100 |
0110 |
28 |
1101 |
1000 |
0110 |
1110 |
14 |
1101 |
1111 |
0010 |
1101 |
29 |
1000 |
1010 |
0101 |
1001 |
15 |
1001 |
1101 |
0011 |
1000 |
30 |
1101 |
0111 |
1101 |
0011 |
Пример решения задания 2.6.3. |
|
|
|
|
„ |
_ |
|||
Решим задание 2.6.3. для функции |
|
|
1 |
аблица 2 .6 |
.за |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
f(x,y,z,w) =( \ m 0100 |
0100 |
1010). |
х у ^ - |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
|
Запишем |
таблицу |
функции |
|
||||||
00 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||||
/ (х, у, z, if ) |
в виде карты Карнау |
|
|||||||
01 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
||||
(табл. 2.6.3а): |
|
|
|
||||||
|
|
11 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
||
Найдём полином Жегалкина: |
|
|
|||||||
|
10 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
f(x,y,z,v) = |
Yj(x + a)(y+ b)(z +c)(w +d) = |
|
|
|
|
||||
|
(a, b, с,ск) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(a ,b , с, df-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- l + x + y + w + xzw+yzw.
Определим оптимальный для метода каскадов порядок разложения.
По определению, f x{x,y,z,w)- f(Q,y,z,w) +f(\,y,z,w ).
Таблица для f x имеет вид
(табл. 2.6.ЗЬ):
Видим, что | f x |= 6.
Таблица 2.6 .ЗЪ
ZW
У'"" |
00 |
01 |
11 |
10 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Аналогично, f y (x,y,z,w) = f(x,0,z,w ) +f(x \,z,w ).
Таблица для / имеет вид (табл. |
|
|
Таблица 2.6.3с |
||
2.6.3с): |
00 |
01 |
11 |
10 |
|
X |
|||||
|
|
|
|
||
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
Видно, ЧТО If |= 6.
Продолжаем отыскание частных производных.
f'z (x,y,z,w) = f(x , у,0, w) +f(x , у, I, w).
Таблица для f 2 имеет вид (табл. 2.6.3d):
Заметим, что \ f z \= 2.
Идалее, f w(x,y,z,w) = f( x ,y ,z , 0 ) +f(x,y,z,l).
Таблица для f w имеет вид (табл. 2.6.3е):
Как видно, | / н. |= 6.
Так как набольшее число единиц в табли
це имеют f x, f и f w, то на 1 и 2 эта-
метода каскадов разложение ведём по бой из переменных x,y,w. Выберем, на
Таблица 2.6.3а
|
0 |
1 |
00 |
1 |
0 |
01 |
1 |
1 |
11 |
1 |
0 |
10 |
1 |
1 |
Таблица 2.6.3е
Z |
0 |
1 |
|
Х } |
|||
^ |
|
||
00 |
1 |
0 |
|
01 |
1 |
1 |
|
11 |
1 |
0 |
|
10 |
1 |
1 |
ли пах лю-
пример, в качестве первой переменной, |
|
|
|
по |
|||||
которой будем проводить разложение, |
х, |
а второй - w. |
|
|
|||||
Получим: f ( x , y , z , w ) - x ■/( 0 , y,z,w) v x - / (l,y,z,w ). |
|
||||||||
Выпишем таблицы функций f(0 ,y ,z,w ) |
и f(\,y ,z, и’) |
(табл. 2.6.3f). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.6.3f |
||
|
00 |
01 |
11 |
10 |
|
00 |
01 |
11 |
10 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
f ( 0 |
,y,z,w) |
|
|
f(\,y ,z,w ) |
|
|||
ДО,y,z,w)
3. Строим контактную схему методом кас кадов (рис.2.6.За):
На втором этапе разложение ведём по переменной w.
/о О . z, W) = w ■/о (у, z,0) V W • /о О , z,l) =
= m’-(1+ j + 0 + 0)vm’-(1+ j + 1 + jz) =
= tf'(l + y ) v ir - ( y + jz) = w -yvM'7 -(l + z) = w 7 v w 7 'Z.
/1 O', Z,w) = w - f x (y, z,0) v w • f x (y, z,1) =
= TT’-('j + Oy)vTT’Y j + l + z + j z ; = w - y v w - f n (y,z) .
Осталось разложить функцию f \ ](_}’,z).
/n(}',z) = z - / 11(y,0) v z - / 11(y,l) = z-(y + l)v z - (y + l + l + y) =
= z- y v z - 0 = z- J . |
_ |
Изобразим полученную |
кон |
тактную схему (рис.2. 6. 3b):
Сложность построенной схемы равна количеству контактов в ней, т.е. 8.
Задание 2.6.4
Для функции f(x ,y ,z ,t), заданной своей ДНФ:
1. Построить таблицу данной булевой функции.
2.Наити минимальную ДНФ. Исходя из минимальной ДНФ, построить контактную схему.
3.Построить контактную схему методом каскадов, отыскав опти мальный порядок разложения переменных с помощью частных произ водных.
4.Исходя из простейшей контактной схемы, построить минимальный тест для нахождения неисправности :
а) для вариантов с чётными номерами - типа замыкания ровно одного контакта;
б) для вариантов с нечётными номерами - типа размыкания ровно од ного контакта.
Таблица 2.6.4
№ |
f(x,y,z,t) |
№ |
f ( x ,y ,z ,t ) |
|
1 |
xyz v xyz v xyztv yzt |
16 |
xyt v xyz v xyztv xyt |
|
2 |
xyzt V xz t v xyzt v xzt v yz |
17 |
xyzt v yzt v xyzt v xyz v xy |
|
3 |
xyzt v xyz t v x y z t v xzt |
18 |
x y z tv y z t v |
x y z t |
4 |
x y ztv x z t v x y z t |
19 |
x y z tv y z t v |
xyzt |
5 |
xyzt v xyzt v xzt |
20 |
x y z tv x y z t v x y z t v yzt |
|
6 |
xzt v xyztv yzt v yzt |
21 |
xyt v xyt v x yztv yzt |
|
7 |
xyzt v xyt v xyzt V xyt V zt |
22 |
xyzt v xzt v xyztv xzt Vyt |
|
8 |
x y ztv xy t v xyzt |
23 |
x y ztv x y z v x y z t |
|
9 |
xyzt v xyzt v xyt |
24 |
xyzt v xyzt v yzt |
|
10 |
xyzt V x yzt v x y z t v xyt |
25 |
xyzt v x y z t v x y z t v yzt |
|
11 |
xzt v xyt v xzt v xyzt |
26 |
xzt v xzt v xyzt v yzt |
|
12 |
xyzt v xyz v xyzt v xyz V xt |
27 |
xyzt v x y t v xyzt v xyt v y z |
|
13 |
xyzt v xyz v xyzt |
28 |
xyzt V yzt V x у zt |
|