тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

24f ix, y ,z ,w) = 2y +w

25f ix, у, z) = min{x,y}

Пример решения задания 3.2.2

Решить задание 3.2.2 для f (х, у) —х + 2у.

Вначале мы имеем запись изображения набора аргументов lx+1 * 1' '.

Затем с помощью подстановки а 1—>1а оно преобразуется в слово

1х+1а * 1-! 1'. Сотрём а и разделительную звёздочку: а*—>Р

Удвоим количество единиц в блоке, изображающем второй аргумент: Pi—>llP. После выполнения всех перечисленных выше подстановок окажется запись, содержащая х +1 + 2 (у +1) = х + 2у + 3 единицы.

Сотрём лишние две единицы и закончим работу подстановкой 1 lP— a l - » la

a* -» Р

Запишем нормальную схему подстановок: PI ^ IIP

п р - > .

-» а

2. Проверим работу алгоритма над изображением набора переменных

(0,1), т.е. над словом 1*11:

_1*11, a l* ll, la * ll, ip il, 111pJ., 111ПР, 111.

Итак, осталось три единицы, которые являются изображением числа 2, что и ожидалось, т.к. /(ОД) = 0 + 2 • 1 = 2.

Задание 3.2.3

Итак, в результате работы нормального алгоритма над изображением

В результате получено изображение числа 4.

Но У (2,ОД) = 2 + 2 -1 = 4. Так что нормальный алгоритм получил то,

что и должен был получить.

3.3. Рекурсивные функции

Числовой функцией называется функция вида f : Nq —> N 0 , где

7V0 ={0,1,2,3,...}.

Исходными функциями называются числовые функции следующих ви­ дов: 1) о(х) = 0 - нулевая функция;

2)six) = х +1 - функция следования;

3)1%(х\,х2 ,...,хп) = Х]с - функция выбора аргумента.

h(xl,x2,...,x„) = g ( /1(x1,x2,...,x„),/2(x1,x2,...,x„),...,/A.(x1,x2,...,x„)),

причём h определена только на тех наборах (сц ,а2 ап). на которых

1)/ ( x j ,х2,.. -,хп_х,0) = g(xj,х2,... ,хп_х);

2)f ( x l,x2 ,...,xn_l,y + l) = h(xl,x2 ,...,xn_l, y , f ( x l,x2 ,...,xn_l,y)).

Операция минимизации по / -той переменной функции g (x 1,x2,...,xH)

обозначается \iy (g(xl,x2 ,...л , ,,у , xj+l,...,хп ) = х( ) и определяется так:

Рассмотрим соотношение g(x1 ,x2 ,...,xi_1 ,y ,x i+1 ,...,xn) - xit (*)

которое будем рассматривать, как уравнение относительно у.

Эго уравнение будем решать подбором, подставляя вместо у после­

довательно числа 0,1,2, и т.д. Возможны случаи:

1)на некотором шаге левая часть соотношения (*) не определена.

В этом случае считаем, что на наборе (Х|,х2 хп) операция миними­

зации не определена.

2)На каждом шаге левая часть соотношения (*) определена, но ни

при каких у равенство не выполнится. В этом случае также считаем,

что на наборе (х1 ,х2 ,...,хп) операция минимизации не определена.

операции минимизации на наборе (х1 ,х2 ,...,хп).

Примитивно-рекурсивной называется числовая функция, которая может

быть получена из исходных за конечное число шагов с помощью при­ менения операций суперпозиции и примитивной рекурсии.

Частично-рекурсивной называется числовая функция, которая может

быть получена из исходных с помощью применения конечного числа раз операций суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

3)Докажем, что предложение (1) верно при у = п + 1, т.е. докажем

Выразим f i x , п + 1) с помощью схемы примитивной рекурсии:

f i x , n + 1) = hix,n,fix, п)) = hix,n,in + 1)!хи+2) =

= (ц + 2)-х-(«-|-1)!хи+2 = (п + 2)!хи+3. Итак, в предположении спра­

ведливости формулы (2) доказана формула (3).

На основании метода математической индукции утверждаем, что пред­ ложение (1) справедливо для всех Д е jV0.

Ответ: f i x , у) - (у +1)\ху+2.

Задание 3.3.2