тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdfТаблица 6.4.5(продолжение)
№ |
автомат |
|
а |
Ъ ^ |
а 5 ^ |
18 |
|
|
|
b s—-ч |
^—х а,Ь ^ \ |
|
19 |
О И |
Н ^ ) , |
© |
20 ©g©)o
26
27c(^>4Lvb
а^ 0^
Таблица 6.4.5(окончание)
автомат
Пример решения задания 6.4.5
Рис. 6.4.5 |
|
Рассмотрим множества: Еу — {а 8(а, <г/,) = qj } |
(1) |
к> 0 |
(2) |
Согласно теореме Макнотона-Ямады, числа Еу |
образуют слова, соот |
ветствующие маршрутам из / - той вершины в j |
- ю вершину, причём в |
этих маршрутах номера вершин, проходимых внутри маршрута, не пре восходят к.
В нашем случае начальная вершина - 1, заключительная - 2, общее ко личество вершин равно 3, значит, данный автомат представляет событие
Eh-
Найдём события по формулам (1): |
|
|
|
||
Е ^ = е - |
Ei 2 = а; |
Е?3 =Ь; |
Е°21 = 0 ; |
Е°22= а; |
Е°23=Ь; |
E3i= b; |
Е32=а; |
Е 33=е, |
|
|
|
где е - пустое слово (не путать с пустым событием 0). |
|
||||
События найдём по формуле (2): |
|
|
|
||
E h = E h u Eii(E]1j)*E ii = e u e e * e = e; |
|
|
|||
E i2 = E i2 u Ei i (Ei i )*Eh = a u e e * a = a u a = a; |
|
||||
E\j = Eiз u Eh (Eh )*Ei3 = b u ее *b = b u b = b; |
|
||||
E\ i = E \ i u E%j(£fj)*Eh = 0 u 0 e *e = 0 u 0 |
= 0 ; |
|
|||
e \ 2 = E°22 u E h (E (i\)* E h = a ^ 0 e * a = a u 0 |
= a; |
|
|||
E \3 = Е23 u Е2i(£i°i)* E h = b u 0 e * b = b u 0 |
= b; |
||||||||||||
Е\ j= £ 3°! и |
£п = b vjb e* e = |
b yjb = |
b; |
||||||||||
£ |
3 |
2 |
= £ |
3 |
2 |
|
= a u b e * a = a^jb; |
||||||
£ |
3 |
2 |
= £ |
3 3 |
u £ 30 1 (£i°i)*£i0 3 |
= e u b e * b = eu b b . |
|||||||
Выразим £ 12, |
посмотрим, какие события, |
помеченные верхним индек- |
|||||||||||
сом |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
|
* |
|
2 |
||
2 , нам надо найти: £ 1 2 |
= £ 1 2 |
^ £ ]3(1'-.33 ) |
|
Е 3% |
|||||||||
Найдём каждое из событий, присутствующих в правой части последнего равенства:
Е \2 =Е\ 2 ^ E i2(E22) E 22= a^Jaa*a;
Е\3 = Е\ъ^ Е \2(Е\2)*Е\3=Ъ^аа*Ъ-
Е33 = £ 3 3 ^->Е\2(Е\2)*Е231 = eK jb b vj(avjba)a*b ;
£ 3 2 = £ 3 2 и £ з 2 ( ^ 2 2 ) * ^ 2 2 = ( а и й а ) и ( а и й а ) а * а .
Итак, получаем регулярное вьфажение:
-^12 = Е\ 2 ^ £ 1 3 ( £ 3 3 ) £ 3 2 =
=a 'u a a * a lu (b u a a * b )(e u b b 'u (a lu b a )a * b )* (a u b a ,u(a'uba)a*a).
2.Рассмотрим какой-нибудь маршрут из первой вершины во вторую, например: 1—>2—>2—>3—>2. Этому маршруту соответствует слово
aaba. Проверим, присутствует ли оно в событии Ef2.
Если в событии £ |
3 |
2 |
* |
взять е. а в £ |
2 |
слово |
|
1 2 взять слово aab, в |
(£ 33) |
|
3 2 |
||||
а, |
то конкатенация этих слов, вошедшая в Е \2. и будет равна aaba. |
||||||
3. Возьмём какое-нибудь слово из события, например, bbbbaa. |
|
|
|||||
Рассмотрим маршрут, соответствующий этому слову: |
|
|
|||||
b |
b b b a |
a |
|
|
|
|
|
Действительно, при считывании слова ЪЪЪЪаа, начав движение из 1
вершины, мы оказались во 2, заключительной, вершине.
Список литературы
2.Виленкин Н.Я. , Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.:ФИМА, МЦНМО, 2006.
3.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной мате матике. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
4.Ерусалимский Я.М., Дискретная математика: Теория, задачи, при ложения. - М.: Вузовская книга, 2005.
5.Капитонова Ю.В., Кривой C.JL, Летичевский А.А., Луцкий Г.М. Лекции по дискретной математике. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
6.Карпов В.Г., Мощенский В.А. Математическая логика и лискретная математика. - Минск: Вышэйшая школа, 1977.
7.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. - М.: Энергоатомиздат, 1988.
8.Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, матема тической логике и теории алгоритмов. - М.: Наука, 1984.
9.Мощенский В.А. Лекции по математической логике. -Минск, Изд-во Белорус, университета, 1973.
10.Нефёдов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. - Изд-во МАИ, 1992.
11.Новиков Ф,А. Дискретная математика для программистов. - СПб.:
Питер, 2004.
12.Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. - М.: Наука, 1965.
13.Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычисли тельных устройств. -М.:Наука, 1980.