тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

8 числовой ряд с общим членом ап сходится к сумме S

функциональная последовательность f n(х) сходится поточеч­

9

но к / ( х ) на (а,Ь)

функциональная последовательность f„(x) сходится равно­

10

мерно к f i x ) на (а,Ь)

11функция f (х) стремится к —оо при х —>+оо

12числовая последовательность {ап} ограничена сверху

13функция f i x ) монотонна на |a, h \

14точка Xq является точкой минимума функции f (х)

15бинарное отношение ср является связным

16числовая последовательность {ап} фундаментальна

20бинарное отношение ф является антисимметричным

21функция f (х) разрывна хотя бы в одной точке интервала (а, b)

22функция f (х) имеет в точке х0 конечный скачок

23булева функция / ( x j ,х2,... ,хп) монотонна и сохраняет 0

24множество А является собственным подмножеством В

булева функция /"(xj,х2,... ,хп) является двойственной к

25

функции g ixv x2 ,...,xn)

функция f (х) имеет на отрезке [а,Ь] конечное число точек

26

разрыва

число su p X является точной верхней гранью числового мно­

27

жества X

28 функция f (х) имеет в точке х0 бесконечный скачок

29график R является композицией графиков Р и Q

30множества А и В находятся в общем положении

Пример решения задания 4.1.6

Решим задание 4.1.6 для высказывания а: числовая последовательность

{ап} является бесконечно малой.

1. Запишем данное определение а с помощью кванторов, представив предикатную формулу в предваренной нормальной форме:

V83wVH(e> 0~ ^ ( n > N —»|ап |<s)).

2. Возьмём отрицание от этого определения, применив формулу

а —>b = а ■Ь, а также теоремы об отрицании кванторов: Ve3 y V „ (s> 0 -^>{n>N ->| ап < в)) —

=3e3tfV„(e> 0 - K « > J V - H a „ 1<е)) =

=3eV tfV „(e>0 -K «>JV ->|a„ 1<е)) =

=3£\/дг3и(в > 0 —>(п > N —>| cin |< в)) =

= Эг\/мЭп( г > 0 л п > N —>\ап |< s) =

=3£\/ЛГЗи(8 > 0 л и > Л ^ л |а и |< s) =

=3Fy N3n( e > 0 A n > N A \ a n |>s).

Отрицание от а получено, то есть получено определение того, что чи­ словая последовательность {ап} не является бесконечно малой.

3. Докажем на основании полученного определения, что числовая по­

Глава 5. Комбинаторика

5.1. Сочетания, размещения, перестановки

Пусть имеется п предметов, отмеченных числами 1,2,

Из этих предметов выбираем один, записываем число, на нём изо­ бражённое, а сам предмет либо возвращаем назад, (в этом случае гово­ рят о выборе с возвращением), либо он убирается и больше не может быть выбран ( в этом случае говорят о выборе без возвращения ). Повто­ ряем эту процедуру к раз.

Запись, полученная в результате всех действий, называется выборкой из п элементов по к.

Запись, полученная по схеме выбора с возвращением, называется вы­ боркой с повторениями, а запись, полученная по схеме выбора без воз­ вращений, называется выборкой без повторений.

Если две выборки, отличающиеся только порядком записи символов, считают различными, то говорят о размещении из п элементов по к.

Если две выборки, отличающиеся только порядком записи символов, считают совпадающими, то говорят о сочетании из п элементов по к.

— к

Через А п обозначают число различных размещений с повторениями из

Размещение из п элементов по п называется перестановкой п элемен­ тов. Число различных перестановок п элементов обозначают Рп.

элементов т -го типа, причём элементы одного типа считаем неразли­ чимыми. Тогда мы будем говорить, что у нас имеются перестановки с повторениями, и количество таких перестановок выражается числом

P(kt .k2 .....

* , ! * 2\ : . , km\

Задание 5.1.1

Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать не­ упорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точ­ но:

Таблица 5.1.1

11 король, 2 дамы, 1 пиковая карта

21 крестовая карта, 2 дамы, нет червей

3хотя бы 4 крестовые карты, 1 туз

43 дамы, 2 крестовые карты

51 бубновая карта, 2 крестовых, 1 дама

62 бубновые, 2 крестовые карты, 1 туз

7по крайней мере 4 пиковые карты, 1 дама

82 карты чёрной масти, 2 дамы

91 туз, 1 валет, 1 карта красной масти

103 туза, 3 карты чёрной масти

111 дама, 1 карта пик, 2 крестовых карты

122 дамы, 2 туза, 1 карта пиковой масти

13дама и король одной масти, 1 пиковая карта

141 король, 2 дамы, 1 карта красной масти

15не меньше 4 красных карт, 2 туза

162 чёрных карты, 1 карта червей, 1 туз

173 короля, 2 бубновых карты

181 король, 1 дама, 1 крестовая карта

Таблица 5.1.1 (окончание)

192 крестовых карты, 1 бубновая, 1 дама

201 бубновая карта, 2 дамы, нет червей

213 бубновых карты, 2 дамы, 1 валет

222 туза, не меньше 3 пиковых карт

232 карты красной масти, 3 туза

242 дамы, 1 бубновая карта, 1 пиковая карта

251 валет, нет дам, 3 чёрные карты

262 туза, по крайней мере 4 красные карты

27валет и дама чёрной масти, не более 1 туза

281 туз, 3 дамы, не больше 2 карт красной масти

292 крестовые карты, хотя бы 2 туза

302 дамы, 1 король, нет червей

Пример решения задания 5.1.1

Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно два туза, одна дама, одна бубновая карта.

Рассмотрим случаи:

1. Среди пяти выбранных карт есть бубновая дама.

Бубновую даму можно выбрать единственным способом, два туза бу­ дут выбираться из трёх, т.к. бубновый туз не может быть выбран, и чис-

ло способов выбора двух тузов равно С3 = 3, к выбранным трём кар­

там надо добавить до пяти ещё две карты так, чтобы они не были дама­ ми, тузами и бубновыми картами.

Таких карт в колоде 21 штука. Число неупорядоченных выборок из 21

произведения, число способов выбора 5 карт, среди которых есть буб­

новая дама, равно 1-3-210=630.

2. Среди пяти выбранных карт есть бубновый туз.

Бубнового туза можно выбрать единственным способом, второго туза к нему можно добавить тремя способами, выберем любую даму из трёх, т.к. бубновую даму выбирать не имеем права, этот выбор может быть