тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

Для нахождения минимальной КНФ покрываем нули карты Карнау двумя прямоугольниками размерами 1x2, которые соответствуют эле­

на 6.

Таблица 2.5.2с

вид: ( x v y ) - ( x v w ) - ( y v z v w ) .

Рассмотрим функцию

h(x,y,z,w,t) = ( 1111 0111 1010 1111 0111 1010 1010).

Карту Карнау для пяти переменных можно воспринимать, как “двух­ слойную” карту Карнау для функции от 4 переменных, где верхний слой соответствует значениям х = 0, а нижний - х = 1, причём клет­

ки, образующие “двухслойный” прямоугольник, соответствуют импликантам, в которых переменная х отсутствует. Двухслойные прямоуголь­ ники будем изображать жирными линиями, а однослойные - тонкими

(табл. 2.5.2d).

Все единицы карты Карнау могут быть покрыты тремя двухслойными прямоугольниками и двумя однослойными. Минимальная ДНФ будет

иметь вид: z t v у t v xzwtw x y t .

Для отыскания минимальной КНФ покроем прямоугольниками нули карты Карнау (рис. 2.5.2е).

Все нули карты Карнау могут быть покрыты тремя двухслойными прямоугольниками и двумя однослойными.

Минимальная КНФ будет иметь вид:

(у V WV t) ■(у V Zv t) ■(у V Zv Wv t) ■( x v у v t) ■( x v Zv Wv t).

2.6. Частичные функции и схемы

Частичной функцией называется функция, определённая не на всех на­

борах своих переменных.

Простой импликантой частичной функции f называется элементарная конъюнкция К, для которой выполняются условия:

1) За^ (а ) = 1, л а ) = 1;

2) V p f(P ) = 0 ^ К (Р ) = 0 -

3)если из импликанты К удалить любую букву, получится формула

К' такая, что 3ГК ' (у) = 1, / (у ) = О .

Доопределением частичной функции f будем назьшать всюду опре­

Критерий существования декомпозиции заданного вида:

Частичная функция / представляется в виде f(u,v,w)-g(u,w,h(u,v))

тогда и только тогда для каждого фиксированного набора а значений переменных из множества и таблица функции f a(v,w) допускает дооп­

ределение до таблицы, содержащей столбцы не более двух различных типов.

Контактной схемой называется неориентированный граф, каждому ребру (контакту) которого приписан символ переменной в некоторой степени и выделены две вершины, которые называются полюсами.

вых функций называется множество наборов значений переменных Т

такое, что V/УкФ1%еТ (§, (е) * ёк (е))

Задание 2.6.1

1. Реализовать частичную функцию f{x ,y ,z,w ) формулами над бази­

сом конъюнкция, дизъюнкция, отрицание четырьмя способами:

а) методом Квайна; б) исходя из минимальной ДНФ, найденной с по­ мощью карт Карнау; в) исходя из минимальной КНФ, найденной с по­ мощью карт Карнау; г) методом последовательного разложения по пе­ ременным xyzw.

2. Для простейшего представления построить схему из функцио­

нальных элементов типа конъюнкция, дизъюнкция, отрицание.

ры (табл. 2.6.1b).

Будем перебирать все единичные наборы из списка М \, который запи­

шем в виде первого столбца. Для каждого из единичных наборов будем заменять последовательно его символы на неопределённый символ “ - ” и смотреть, не будет ли совпадать с точностью до неопределённого символа полученная комбинация с каким-либо набором, вошедшим в

список М (). Если совпадение есть, переходим к следующему символу,

если нет - помечаем набор “крестиком”, выписываем результат замены

Изобразим матрицу Квайна (табл. 2.5. Id), в которой строки соответст­ вуют единичным наборам функции, а столбцы - простым импликантам.

Как видим, ядровых импликант нет. Для нахождения минимальной ДНФ составим символическую КНФ, каждая элементарная дизъюнкция которой соответствует единичному набору нашей функции, которую преобразуем затем в ДНФ. Получим:

(2v3v4v5)-(3v5)-(3v4)-(lv6)-(4v6) = (3v54)-(6vl4) =

= 3-6v54-6v344v5-14.

Видим, что наименьшую длину имеет символическая конъюнкция 3-6,

которая соответствует минимальной ДНФ xw v x z .

Сложность найденной минимальной ДНФ равна 4.

б) При нахождении минимальной ДНФ с помощью карты Карнау (табл. 2.5.1е), мы доопределяем функцию / так, чтобы покрытие имело более простой вид:

ветствующая минимальная ДНФ совпадает с ДНФ, найденной в п. а).

в) Для отыскания минимальной КНФ покрываем нули карты Карнау

(табл.2.6.1/) двумя квадратами 2x2: х vvt’ и x v z .

Соответствующая минимальная КНФ такова: (х vtf )• (х v z ) .

Сложность её равна 4.

г) Проведём разложение по набору переменных xyzw. На первом эта­

пе, раскладывая по переменной х, имеем:

f i x , y,z,w) = x ■/(О , y ,z ,w ) v x - /(1 , у, z, w)) .

Каждая из функций / (0, у, z,w) и / (1, у, z, w) не доопределима до кон­

станты, но f(\,y ,z,w ) доопределима до z .

Изобразим таблицы (табл.2.6.lh) функций /(0,0, z,w) и /(0,l,z, иД :

Видим, что /(0,0, z, и1) и /(O.l.z, иД доопределимы до w и 1 соответ­ ственно.

Получаем разложение исходной функции:

/( х , у, z, w) = х ■(у ■w v у ■1) v х ■z = х ■(w v у) v х ■z . Во время уп­

рощений мы применяли тождества с константами и правило вычёркива­ ния. Сложность полученной формулы оказалась равной 5.

2) В качестве простейшего представления возьмём минимальную ДНФ

о

.ч/

3) Реализуем ту же минимальную ДНФ контактной схемой (рис.2.6. lb).

Таблица 2.6. li

4) Запишем двумерную таблицу функции f (табл. 2.6.1 i):

Видим, что таблица допускает доопределение до строк только двух типов (табл.2.6, lj):

Таблица 2.6. lj

/(х, у, z, w) — h(x, у) • g>(z, w) v h(x, у) • \\i(z, w) =

=(x v y) ■W V (x v y) ■z .

Соответствующая схема из функциональных элементов с ветвлениями будет иметь вид (рис.2.6.1с):

-V.