Добавил:

bashirjon Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тюменский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

.pdf

Скачиваний:

993

Добавлен:

08.12.2019

Размер:

15.69 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 336 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Покажем, что это соответствие обладает тем же набором свойств, что и данное.

а) Действительно, это соответствие всюду определено, так как npj G = X — {и, v}.

(3) Соответствие сюръективно, так как пр2 G = {w} = ¥.

у) Соответствие функционально, так как в его графике нет пар с одина ковыми первыми и различными вторыми координатами.

5) Соответствие не инъективно, так как его график состоит из двух пар ( u , w ) h ( v , w ) с различными первыми и одинаковыми вторыми коорди

натами.

Так как построенное соответствие всюду определено, сюръективно и функционально, оно является отображением X на Y .

Задание 1.3.2

Для соответствия Г = (X, У. G)

1.Определить набор свойств, которыми обладает данное соответствие.

2.Построить соответствие между конечными множествами с набором свойств, противоположным данному, изобразив соответствие анали тически и в виде графа.

Замечание. Отметить случаи отображений и биекций.

			Таблица 1.3.2
№	X	Y	G
	многочлены 2 степени
	от одной переменной с	R	(многочлен, его корень)
1	действительными коэф	R	(многочлен, его корень)
1	действительными коэф
	фициентами	множество
	множество кругов	множество
2	множество кругов	точек плос	(круг, его центр)
2	на плоскости	точек плос	(круг, его центр)
	на плоскости	кости
		кости
3	(0, + со)	[-U ]	( x ,j ) \|x 2 < у
	(0, + со)	[-U ]	( x ,j ) \|x 2 < у
4	N	R	(х, +1пх)

Таблица 1.3.2(продолжение)

№	X		г
			непрерывные
5	R		на \а,Ь\
			функции
6	вузы вашего города		жители ваше
6	вузы вашего города		го города
			го города
7	(0, + сю)		отрезки на
7	(0, + сю)		прямой
	фамилии студентов		прямой
8	фамилии студентов		(1,2, ...,100}
8	вашей группы		(1,2, ...,100}
	вашей группы
9	окружности на		Z
9	плоскости		Z
	плоскости
10	функции,	опреде	R
10	лённые на [0,1]		R

G
(	\
max f(x), f ( x )
у хе[а,й]	у

(вуз; человек, окончивший этот вуз)

( х, отрезок длины х )

(фамилия, число букв в фамилии)

(окружность, её длина)

( функция, ордината её точки максимума)

11	R 2	N		[(x,y),^x2+y2^j
	имена студентов	буквы рус	( имя, буква из имени)
12	имена студентов	ского алфа
12	вашей группы	ского алфа
	вашей группы	вита
		вита	( п,
13	N	студенты ва	( п,	человек с годом рож
13	N	шего вуза	дения п )
		шего вуза	дения п )
14	[од]	{од}		(х ,/(х )),	где
14	[од]	{од}	/	ГО,шее	oeR\Q
			/(* )= !		- п
				[[,апее	oeQ

15R

16окружности на плоскости

17| / W )|3

18[ОД]

19R

20Р (Ц )

R io

прямые на плоскости

P(U)

R 2

функции, не прерывные на

[ОД]

(maxai,{а^, а2,..,а10))

1</<10 (окружность, касательная к этой окружности)

ЦА, В, С), АглВ глС)

ix,ix,y)\x2 + у 2 = \)

/	m , f (х) minf( х ) ~ т	\
\		)
	°^1

\| / W ) P	(D,(A,B,C)\AuBvC=D)
\| / W ) P
	Таблица 1.3.2(окончание)

№X

		{0,1,2}
	22	[1,3]
	23	пары окружностей на
	23	плоскости
		плоскости
	24	множество книг в
	24	библиотеке вашего вуза
	25	(-4, 4)

	26	мужчины
	26	вашего города
		вашего города

	Y	G
	N	(х, у) х - остаток от
	N	деления у на 3
		деления у на 3
	R+	(х,у)\(х-2)2+(у-2)2<1
		(пара окружностей, коор
	R 2	динаты точки пересече
		ния этих окружностей)
	Z	(книга, число страниц в
	Z	этой книге)
		этой книге)
	[1,6]	(х,у)\у = \х-2\+1

(х, у) X и у состоят

женщины

вашего горо или когда - либо состоя да ли друг с другом в закон

ном браке

27	[P (U )f	PQJ)		((А ,В ),А \В )
28	политические партии	жители ва	((партия), (человек, со
	вашего города	шего города	стоящий в этой партии))

29	P{U), где	N	(А,\А \),где А е Р ( Ц )
	U —{1,2,...,40}

	пары прямых на		(пара	прямых, абсцисса
30		R	точки	пересечения пря

плоскости	мых)

Пример решения задания 1.3.2

Решим задание 1.3.2 для соответствия Г — (X, Y, G), если X = N ,

Y - множество непрерывных на \а.Ь \ функций, а график G задан так:

G = |( J , / ( x ) ) |J = J/(x)rfrj.

1. Определим набор свойств, которым обладает данное соответствие.

а) Для любого натурального числа п можно рассмотреть непрерывную

функцию	f		У1	вычисляя определённый интеграл, бу-
		(х) = --------. Тогда,
			Ъ -а
дем иметь:		f Ъ -а		=		п(Ь - а)	= п
			Ъ -а		Ъ -а	Ъ - а

Итак, доказано, что данное соответствие является всюду определён ным.

(3) Так как для некоторых непрерывных функций на \а,Ъ\ определён

ный интеграл не выражается натуральным числом, то данное со ответствие не является сюръективным.

у) Покажем, что две различные функции могут иметь на рассматри ваемом промежутке одинаковое значение определённого интеграла. Для этого можно рассмотреть функции

/(* ) =		g(x) = 7 2	2пх
	Ъ - а		- а	2 '
		b

Для f (х) определённый интеграл не отрезке \а, b | , как мы уже выяс нили, равен п. Найдём соответствующий интеграл для g(x) :

^g (х )dx =J	^ ПХ „ dx =■ 2n				x	2n(b2 - a 2) = n
I и 2		- a	2	b2 - a 2	2	2(b2 - a 2)
,b

Итак, доказано, что соответствие, описанное в условии задания, не яв ляется функциональным.

5) Так как для каждой функции её определённый интеграл на данном промежутке находится однозначно, данное соответствие является инъ ективным.

2. Построим соответствие между конечными множествами, чтобы оно было не всюду определено, сюръективно, функционально и не инъективно.

Пусть

Г = {{а,Ь,с},{\}, {(а,1),(ЬД)} (рис.1.3.2):

Покажем, что построенное соответствие обладает требуемым набором свойств.

Рис 1.3.2

а) Соответствие ^ не всюду определено,

так как элемент с, входящий в область отправления, не имеет образа при данном соответствии.

(3) Соответствие Г сюръективно, так как его область прибытия {1} со

впадает с областью значений.

у) Соответствие	Г функционально, так как его график не содержит пар
с равными первыми и различными вторыми координатами.
5) Соответствие	Г не инъективно. так как в его графике пары (а, 1) и

(Ь, 1) имеют различные первые и одинаковые вторые координаты.

Задание 1.3.3

Установить биекцию между множествами

			Таблица 1.3.3
№	множества	№	множества
1	{(х, у)\х2 + у 2 <1} и	9	£ п [0 Д ] и б 2 п [0,1]2
1	{( х, у)\ х2 + у 2 <Ц	9	£ п [0 Д ] и б 2 п [0,1]2
	{( х, у)\ х2 + у 2 <Ц
2	[0,1] и R	10	(0,1) и [е,ж]
3	[0,+со) и [0,1]	11	[0, +со) и (а,Ь)
	N и множество многочле		все интервалы на прямой и
4	нов 3й степени с натураль	12	полуплоскость,	располо
	ными коэффициентами		женная ниже линии		у = х
5	R и [0,+ сю)	13	{(х, у)\х2 + у 2 <1}		и
5	R и [0,+ сю)	13	{( х, у )\ х 2 + у 2 <100}
			{( х, у )\ х 2 + у 2 <100}
6	{(х , у ) \ х 2 +у 2 = 1}и [0,1)	14	Q и <9 п [0,+со)
7	все окружности на плос	15	[ОД] и (2,5)
7	кости и R x R x ( 0,+оо)	15	[ОД] и (2,5)
8	< Х < \|,0 < > -< 7 1	16	полуокружность без конце
8	и R 2	16	вых точек и луч (0, +<х>)
			вых точек и луч (0, +<х>)

№	множества	№
17	(- со , 0) и R	24
18	N и Q2	25	R

Q и множество всех мно

19гочленов с рациональны 26 ми коэффициентами

Таблица 1.3.3(окончание)

множества

Q и £ п [0 Д ]

и [1,+со) и {-10}

N и N 2

20(ОД) и R

21q и е 2

все последовательности на

туральных чисел и все во зрастающие последователь ности натуральных чисел

N и множество всех мно

28гочленов с натуральными коэффициентами

	сфера с выколотой точкой
22	и вся плоскость	29
23	{( х, у)\ х2 + у 2 <4}	и
23		30

{( х, у)\х2 + у 2 >4}

Пример решения задания 1.3.3

Установить биекцию между множествами [ОД]

Будем считать, что X - [ОД], Y - (ОД). Пусть

R и R \ Q

Qи N 2

и(ОД).

А = \

,..

[23 п

В = \	0,1,—,—,...,— ,...! = А и {0,1} . Очевидно, что Х \ В = Y\A,
[	2 3	п	J
Х = Х \ В ' и В ,		Y = Y \ A u А.
Установим биекцию между множествами X \В и У А. как тождествен
ное соответствие		f	(х) = х.

Биекцию между множествами А и В зададим так:

Таким образом, между X и ¥ установлена биекция:

		при	X фО, X £ { — п е N ,
/(*) =	J-	при	х = О
	2 ’
	1	при	X Е =\| — И Е /V
	и + 2 ’		I й

Изобразим график этой биекции в декартовой системе координат

(рис. 1.3.3):

1/2 1►

1/3

1/4 1/5 - •

Рис. 1.3.3

Задание выполнено.

Задание 1.3.4

Доказать выполнение условия

Таблица 1.3.4

№__________________условие_______________________________

	всех многочленов от х	с рациональными коэффициентами
	счётно
	всех пар рациональных чисел счётно_______________________
	всех многочленов от х с целыми коэффициентами счётно
	всех кругов на плоскости, радиусы которых и координаты
	центра являются рациональными числами - счётно__________
g	попарно непересекающихся замкнутых кругов на плоскости
	не более чем счётно
6	всех многочленов п - в	степени от	х с рациональными ко
	эффициентами счётно

7	всех многочленов п - в	степени от х	с целыми коэффициен
	тами счётно

8	попарно непересекающихся прямоугольников на плоскости
	не более чем счётно
У
	всех окружностей на плоскости, радиусы которых и коор
9	динаты центра являются целыми числами - счётно

10	полученное объединением счётного		числа конечных мно
	жеств - не более, чем счётно.

11	полученное объединением счётного числа счётных множеств
	- счётно

12	рациональных чисел интервала (0,1) - счётно
	непересекающихся окружностей на плоскости может быть

континуально всех действительных чисел интервала (0,1), в десятичном

14разложении которых на четвёртом месте стоит цифра 7 - ко нтинуально

точек разрыва монотонно убывающей на \а,Ъ\ функции - не

более чем счётно

точек плоскости, расстояние между любыми элементами ко торого больше 3, не более чем счётно

y j попарно непересекающихся открытых интервалов на прямой

не более чем счётно

jg полученное объединением счётного числа непустых попарно непересекающихся конечных множеств, счётно_____________

Таблица 1.3.4(окончание)

№__________________условие_______________________________

\| (j		всех конечных последовательностей натуральных чисел -
		счётно
20		всех конечных подмножеств счётного множества - счётно
2	\|	попарно непересекающихся букв Г на плоскости может быть
		континуально
2	2	попарно непересекающихся букв L на плоскости может быть
		континуально
2	2	попарно непересекающихся букв Т на плоскости не более
		чем счётно
2	4	А1х А 2 х ... хАп -	счётно, если	каждое из множеств
		А1,А2,...,Ап - счётно
25		чисел вида 2 - 3	- счётно, если n e N и m e N
		чисел вида 2 - 3	- счётно, если n e N и m e N
26		иррациональных чисел интервала (0,1) - несчётно
27		всех бесконечных последовательностей, составленных из
27		нулей и единиц - континуально
		нулей и единиц - континуально
2	g	всех корней многочленов третьей степени с натуральными
		коэффициентами - счётно
^		функций вида / :	Е п —>Е, гдеЕ -	{ОД}, п = 1,2,3,... - счёт-

но

полученное объединением конечного числа счётных мно жеств - счётно

Пример решения задания 1.3.4

Доказать, что множество всех конечных последовательностей, со ставленных из элементов некоторого счётного множества, счётно.

Пусть множество А счётно, А = {а1,а2,...,ап,...}. Обозначим через

B yмножество конечных последовательностей длины /с, составленных из элементов множества А, к е N. Покажем для любого к, что мно

жество By -счётно.

Пусть

Ъх —сц,ci\....,ci\ > _ сумма индексов у а, равна к,

гк Ь2 = • • • ,а2

7 к

ь2 = Gi,а2,...

сумма индексов у а, равна к + 1

• • • j - сумма индексов у а, равна к + 2 и т.д.

Таким образом, любая конечная последовательность длины к, состав

ленная из элементов счётного множества, получит свой номер.

Выпишем элементы множеств В/, в виде бесконечной таблицы, где

к <e N (таблица 1.3.4).

Таблица 1.3.4

Ъ\- 'Ъ\

Будем обходить таблицу по маршруту, помеченному стрелками:

I	t	I
bl^bl	t	I
	t	I
'Ъ\'	>bl

По мере продвижения по этому маршруту будем навешивать номера:

Ь\ —1, b \ —2, —3, bl —4, ит. д.

Имеем, что для любых индексов г,р последовательность Ь[ получит

когда - нибудь единственный номер.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 336 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке тюмгу

#
08.12.2019352.87 Кб2_Ph_DwLwTpE.jpg
#
08.12.201978.94 Кб178лаба1.pkt
#
08.12.201986.8 Mб247лабы.rarr
#
08.12.20193.17 Mб398Методичка Cisco_Packet_Tracer_v9.pdf
#
08.12.2019203.77 Кб5Сроки сдачи лабораторных работ КБ_ИБАС 1 курс 2 сем.pdf
#
08.12.201915.69 Mб993Тишин В.В. Дискретная математика в примерах.pdf
#
08.12.2019255.75 Кб93ЭВМ ответы на вопросы .docx
#
08.12.201971.57 Кб195ЭВМ Тест Otvety_ASVT.docx
#
08.12.20192.19 Кб4эвм.txt