тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах
.pdf№_______ а________
A r \ D ci В а С
А глВ с С D) D
Ъ < ^ С
A a D d B \ C
С г л П с= A d D B \ D d A \ D
A d D d B d D
4 n D c C u £ >
~ A \ D < d C \ A
А с: С cj D
B \ D d A \ C
А г л В c= D г лС
D с й и ^4
Д д й с С
10B d D <d A d С
C \ B d A \ D
B d C d D
D d C d B d A
11
D d В c C cjH
B d D d C
Таблица 1.1.10(продолжение)
_ _ _ _Ё_ _ _ _
C d D
A \ C d A \ B
А г л С <d В глС
D d A d B
A d D d C
D г л С ci A
A\D< d В
С d D
D d A d B
A \ B d C \ D
A d D
A n D d В n C < r D
A d В c C d D
B r D
С ci А г л В
D \ A d C
С <d A d В
B d A d B \ C
C \ D d B \ D
B d C<a D
№_______ а________
D г л С < г В и А
12 В и С г |
D u А |
С г л А г |
B a D |
В и С и D
13 С г А г В
D u А г С и В
B u C a D
14D с= С А А
В г л В г С \ А
С п В с= А г л D
15 В <rD г С и А
B r D u C
А г л В и C a D
16С гл В <г Аи> D A r D
Аа В г СЮ
Ас л D с А и В
17
С А и В А
Таблица 1.1.10(продолжение)
С с В ' и А
B c D u A
( С r D ) \ B c D u A
( C r B ) \ D c ( C \ B ) r A
В гл A г D \ С A \ C г В г л А
C r C \ B
С cz D гл А
D\ A r C
Вгл D и А
В \ С и D г л С
B \ D c D \ A
Сс л В г А г л В
Вс A u D
D r А
B \ D c B \ C
B n D c D n C
A r C u B
B c A u D
A r D c B
B \ A c C
№а
|
А и В |
<гС гл А |
||
18 |
А г л В |
< г А и |
D |
|
|
3 A u |
D \ B |
|
|
|
В с А и D |
|
||
19 |
C \ A c B \ D |
|
||
< |
|
глА |
|
|
|
С глВ r D |
|
||
|
A r D u B |
|
|
|
|
C a B<t D |
|
||
20 |
<! С и А г |
В и |
D |
|
|
D \ C r B \ A |
|
||
|
D и С г |
А |
|
|
21 |
D u А г |
В и С |
|
|
< |
|
D u В |
||
|
А и С г |
|||
|
С u A c D |
|
||
|
D гл А г |
В и |
С |
|
22 |
D u C |
г В и |
А |
|
|
D гл В г |
-- |
||
|
С АА |
|||
С г А и D
23D r B r C
В и А г D u С
Таблица 1.1.10(продолжение)
D r |
А |
Р |
|
||
А г |
С и В |
|
В \ С с |
D \ А |
|
В г |
А |
|
А г В с |
А г л С п Д |
|
<С и В с А и D
С г А
15 г С гл В А \ В г Ъ
D г С и В
B u C r C \ D
,D \ A r C \ A
С r A n D
D r B r C
С r B r A
( A n D ) \ C r B r A
( C r D ) \ A r ( D \ B ) \ C
В глС с A \ D
B \ D с В глС
D r D \ C
№а
С с: A a U
24 |
<! А |
г D а В |
|
|
|
С г л А г |
D \ В |
||
|
С r \ D г А г л В |
|||
25 |
<! С гл А г |
D u |
В |
|
|
С г D u А |
|
||
|
С гл В г |
D a A |
|
|
26 |
С гл D г |
А и |
В |
|
|
В г А |
|
|
|
|
С л В г |
D \ А |
|
|
27 |
А гл В г |
С и |
В |
|
|
D |
\ В г |
С \ В |
|
|
С и В г |
D гл В |
||
28 |
С гл В г |
А и |
В |
|
С \ В г А \ С
С г А и В
D \ B r C \ A
29 |
< |
|
С n D г В г л А |
|
В г А и С |
|
v- |
Таблица 1.1.10(продолжение)
Р
D r B r A
A \ B r D
С с л А г В
C \ D r D глА
'С ' \ А г А ' \ В
Сn D г А п В
Сг В и А
А г В
СА г СЮ
Сn A r D n A
В г С и D
Сг В и А
Аг л В г С
C \ B r D
А г В
B r C u D
C \ D г А \ В
Сг В
Сг В r B n D n A
<D u C г В и А
D r В
№а
С Л D с: А
30 <D ^ J В c C А
{ A \ D < ^ C \ В
Пример решения задания 1.1.10
Проверить равносильность систем
В п Л |
с А п С |
|
<B n A ^ D L J C (*) |
и |
|
В |
А |
|
Таблица 1.1.10(окончание)
|
3 |
A c C |
ni D |
В \ С ^ А |
|
А с: С |
D |
В А с А \ С
B n i D c A n i C (**).
В с С А
I. Возьмём множества общего положения А, В, С, D, являющиеся подмножествами универсального множества U , воспользовавшись тех
никой, описанной в решении примера 1.1.9. Будем иметь:
U = {1,2,3,4,5 ,6,7,8,9,1 0,11,12,13 ,14,15,16} ,
А = {9,10,11,1 2,13,14,15,16}, В = {5,6,7,8,1 3,14,15,16 },
С= {3,4,7,8,1 1,12,15,16 }, D —{2,4,6,8,1 0,12,14,16}.
1.Рассмотрим включения, вошедшие в систему (*).
={6,8,14,16 }, А п С = {11,12,15,16}.
По условию, {6,8,14,16}^ {11,12,15, 16} => список 6,8,14 пуст, Значит, А = {9,10,11,1 2,13,15,16 }, В = {5,7,13,15 ,16},
С = {3,4,7,11, 12,15,16}, D - {2,4,10,12 ,16}.
В г л А = {13,15,16} , D vj C = {2,3,4,7,1 0,11,12,15,16}.
Так как {13,15,16} с{2 ,3,4,7,10,11,12,15,16}, то {13}=0. Множества А и В можно записать так:
А = {9,10,11,1 2,15,16}, В = {5,7,15,16 }.
И, наконец, |
В C I I) |
А , то есть |
|
|
|
|
{5,7,15,16}с {2,4,9,10, 11,12,15,16}=> {5,7} =0. |
||||||
Итак, множества А, |
В, С и Z) таковы: И = {9,10,11,1 2,15,16}, |
|||||
В = {15,16}, |
С = {3,4,11,12 ,15,16}, |
D |
—{2,4,10,12 ,16}. |
|||
Проверим при полученных А, В, С и D |
выполнение включений (**): |
|||||
В'\А= 0 , |
поэтому включение 514 с |
А\С выполняется независимо от |
||||
вида множества А \С. |
|
|
|
|||
5 п О = { 16}, |
А п С = {11,15,16} , значит, |
S n D c i n C и второе |
||||
включение также выполнено. |
|
|
|
|||
Наконец, А = {1,2,3,5,6 ,7,8,13,14 }, |
|
|
|
|||
С и А = {1,2,3,4,5 ,6,7,8,11, 12,13,14,1 |
5,16} |
и В с С и А . |
||||
Получили, что все множества А, В, С и D, |
удовлетворяющие системе |
|||||
включений (*) удовлетворяют также системе (**).
2.Пусть теперь выполняется система (**).
Также, как и в первой части доказательства, возьмём множества
и = {х1,х2,х3,х4,х5,х6,х7,х8,л^,х10,х11,х12,х13,х14,х15,х16},
А = {х9,х10,хп ,х12,х13,х14,х15,х16}, |
В = {х5,х6,х7,^ ,х 13,х1фх15,х16}, |
С = {х3,х4,х7,х8,х11,х12,х15,х16}, D |
= {х2,х4,х6,х8,х10,х12,х14,х16}. |
В \А —{х5,х6,х7,х8}, { А \С —{х9,х10,х13,х14}, и из выполнения вклю
чения 514 с: 4 С следует, что {х5,х6,х7,х8} = 0 .
Рассматриваемые множества примут вид:
и= {х1,х2,х3,х4,х ?,х10,х11,х12,х13,х14,х15,х16},
Л= {х9,х10,хп ,х12,х13,х14,х15,х16}, 5 = {х13,х14,х15,х16},
С = {x3,x4,xn ,x12,x15,x16}, D |
= {х2,х4,х10,х12,х14,х16}. |
5 п 0 = {х14,х16}, А слС = {хп ,х12,х15,х16}. |
|
Из включения 5 п Д с 4 п С |
следует, что {х14} = 0, значит, |
1.2. Графики
Декартовым произведением множеств Ai ,A 2,...,A„ называется множе ство Al x A 2 x ...x A n ={(al,a 2,...,a„)\al <=Al,...,a„<=An}
Проекцией вектора (а1,а 2,...,ап) на ось / называется координата аг.
Проекцией множества А векторов на ось будем называть множество проекций векторов из А на эту ось.
Графиком будем называть подмножество декартова произведения двух
множеств.
Инверсией графика Р будем называть график
р 1 = {(а ,6 )|(6, а) е Р ) .
Композицией графиков Р и Q называется график
P ° Q = {(a,b)\3x((a,x)&P и (x,b)eQ)}.
Задание 1.2.1
1.Проверить справедливость равенства а для множеств
А—{1,2}, В = {2,3}, С = {1,3}.
2.Выяснить, верно ли равенство а для произвольных А, В, С.
Таблица 1.2.1
№
ИхС = ( И х ( С \5 )) и ( И х ( С п 5 ))
ИхС = (И х (С п 5 )) и (И х С )
А х ( В а С) = ( А х ( В ^ С ) \ ( А х ( С глВ))
А х С - ( Ах (С \В)) и ( Ах С)
A x ( B vjC) = ( A x B ) vj( A x (C\B))
Ах ( С \ В ) - ( А х С) а ( А х (С глВ))
Ах С = ( Ах (С и В)) п (Их С)
Ах ( С га( В а С)) = ( А х С ) а ( А х ( С глВ))
Ах ( С \ В ) — ( А х С ) \ ( А х ( С глВ))
10 I A x (В и С) = (A x (В А С)) и (А х (В п , С)) |
| |
Таблица 1.2.1(окончание)
№ |
а |
11А х С = (A x ( C vjB ) ) \( А х ( В \С ))
12А х ( В п С ) = ( А х С ) \ ( А х ( С \ В ) )
13А х (В гл С) = (А х (В и С)) \ (А х (В д С))
14А х ( С \ В ) — ( A x ( B vjC ) ) \ ( A x B)
15В х А = ( В х ( А \ С ) ) ^ ( В х ( А глС))
16В х А = ( В х ( А с л С ) ) ^ ( В х А )
17B x A = ( B x A ) ^ j ( B x ( A \ C ) )
18B x ( A vjC) = ( B x ( A \ C ) ) kj( B x C)
19В х А = ( ВхА) гл ( Вх ( А^>С))
20В х ( А \ С ) = ( В х А ) \ ( В х ( А г л С ))
21В х А = ( В х ( А ^ С ) ) \ ( В х ( С \ А ) )
22В х ( А г л С ) = ( В х А ) \ ( В х ( А \ С ))
23В х ( А\ С ) = ( В х А ) а ( В х ( А глС))
24B x ( A\ C) = ( B x ( A vjC ) ) \ ( B x C)
25C x B = ( C x ( B \ A ) ) v j ( C x ( B n A ))
26С х 5 = ( С х ( 5 п И )) и ( С х 5 )
27С х ( А а В) = ( С х ( А ^ В ) \ ( С х ( А глВ))
28C x B = ( C x ( B \ A ) ) vj( C x B)
29С х (А и В) = (С х А) и (С х (В \ А))
30С х ( А \ В ) = ( С х А ) а ( С х ( А п В))
Пример решения задания 1.2.1
1. Проверить справедливость равенства
С х ( В \ А) - ( С х В ) а ( С х ( Агл BJ) для множеств
А—{1,2}, В = {2,3}, С = {1,3}.
2.Выяснить, верно ли равенство
С х (В \ А) —(С х В) А (С х (А гл В)) для произвольных А, В, N.
1. Для нашего случая
С х (В\ А) - {1,3} х ({2,3} \ {1,2}) = {1,3} х {3} = {(1,3), (3,3)}.
С х { Аг л В ) = {1,3} х({1,2} гл{2,3}) = {1,3} х {2} = {(1,2),(3,2)}.
С х В —{1,3} х {2,3} = {(1,3),(1,2),(3,2),(3,3)}. (С хй )д(С х(Д пВ )) =
={(1,3),(1,2),(3,2),(3,3)}д{(1,2),(3,2)}={(1,3),(3,3)}. Итак, мы убедились, что в нашем примере равенство выполнено. Проверим это для общего
случая. |
|
2. Пусть А = {a,d}, В = {b,d}, С = {с}, |
где a ,b ,c,d - списки эле |
ментов. |
|
Тогда С х ( В \ А ) —{с}х{Ь} —{(с,Ь)}, где |
\(с,Ь )\- множество пар |
элементов, первая компонента которых входит в список С, а вторая - в список Ь.
А г л В = {d}, (Сх В)а ( Сх ( А п В)) = {(c,b),(c,d)}A{(c,d)} = {(с,6)}.
Как видно, множества |
С х ( В \ А ) |
и |
( СхВ ) а ( Сх ( АглВ )) состоят из |
пар одинакового вида, следовательно, равенство |
|||
С х (В \ А) = (С х В) а (С х (А г л В )) |
для произвольных А, В, N. |
||
Задание 1.2.2 |
|
|
|
Для данного графика Р найти: Р |
1, |
Р о Р, Р 1° Р, |
|
пр2( / >_1 ° Р ) х прД РоР ). |
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.2.2 |
№ |
Р |
|
|
1(1,2), (1,3), (4,2), (2,3), (3,3)
2(2,2), (4,4), (1,2), (3,1), (3,4)
3(1,2), (2,3), (3,1), (2,2), (3,2)
4(3,3), (3,2), (2,2), (1,2), (3,1)
5(ОД), (1,1), (1,0), (0,2), (2,1)
6(5,4), (2,4), (4,4), (3,2), (5,3)
7(1,1), (1,2), (2,3), (3,1), (3,2)