тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

Свойства коэффициентов обобщённого арифметического треугольника:

1)С2(п,к) = Скп,

2)Ст(п ,к)-С т(п,(т -\)п-к) (свойство симметричности);

3)Ст (п,0 ) + Ст(иД) +...+Ст (п, (т - 1)и) = от" (свойство суммы).

Задание 5.5.1

Наносятся т цифр 1,2,.., от на от различных шаров (на каждый шар

пишем ровно одну цифру), после чего шары помещаем в мешок. Из мешка наудачу извлекаем шар, записываем число, изображённое на нём и возвращаем шар в мешок. Эта процедура повторяется п раз.

Сколько существует различных случаев, при которых сумма выпи­ санных чисел оказалась бы равной к ?

Пример решения задания 5.5.1

Пример решения задания 5.5.2

Решить задачу 5.5.2 для п = 4, р = 13, к = 17.

Перейдём от кости, грани которой помечены символами 1,2,...,6 к кости, грани которой помечены цифрами 0,1,...,5. Тогда суммам в 13 и 17 оч­ ков, полученным с помощью обычной кости, будут соответствовать суммы в 1 3 - 4 = 9 и 1 7 - 4 = 13 очков, полученные с помощью кости с нестандартной разметкой. Но результаты бросаний нестандартной кос­ ти, выписанные подряд, можно воспринимать, как четырёхзначное чис­ ло в шестеричной системе счисления.

Количества четырёхзначных чисел в шестеричной системе счисления, с

суммами цифр 9 и 13 равны соответственно С6(4,9) и С6(4,13). Заме­ тим, что С6 (4,13) = С6 (4,5 • 4 —13)) = С6 (4,7). Для нахождения этих чи­

сел построим обобщенный арифметический треугольник шестого по­ рядка (табл.5.5.2а). Видим, что С6 (4,7) = 104, Сб (4,9) =140.

Задание 5.5.3

Запускается п волчков, у каждого из которых по т граней с нанесён­ ными на них числами р ,р +\,...,р +т —\. Сколькими способами эти волчки могут упасть, набрав сумму в к очков, если волчки

1) различимы? 2) неразличимы?

Если число способов не превосходит 10, выписать их.

Таблица 5.5.3

№ п т Р к № п т Р к № п т Р к

Пример решения задания 5.5.3

Запускается 4 волчка, у каждого из которых по 4 грани с нанесёнными на них числами 5, б, 7,8 . Сколькими способами эти волчки могут упасть, набрав сумму в 25 очков, если волчки

1 ) различимы ? 2 ) неразличимы ?

Перейдём от данных волчков к волчкам, грани которых помечены циф­ рами 0,1,2,3. Тогда сумме 13, полученной с помощью исходных вол­ чков, будет соответствовать сумма 25 - 5 • 4 = 5 для “новых” волчков. В дальнейшем будем говорить только о волчках с новой разметкой. Рас­ смотрим случаи:

1) волчки различимы.

Если число способов не превосходит 10, выписать их в явном виде.

1)Пусть f ( k ) означает число способов, которыми можно оплатить

сумму в к рублей марками достоинством в 6, 5 и 3 рубля, если есть не­

ограниченное число марок достоинством в 6, 5, 3 рубля и два способа, отличающиеся только порядком наклейки марок, считаются различны­ ми. Тогда справедлива рекуррентная формула

f ( k ) = f ( k - 6 ) +f ( k - 5 ) + f ( k - 3 ) .

Эта формула позволяет вычислять значения функции в точке к через значения функции в точках к - 6, к -5, к - 3.

Очевидно, что при к < 0 f ( k ) = 0. Далее, /(0 ) = 1, /(1 ) = 0, /(2 ) = 0,

/(3 ) = 1, /(4 ) = 0, /(5 ) = 1, /(6 ) = 2, /(7 ) = /(1 )+ /( 2 ) + /(4 ) = 0 + 0 + 0 = 0;

/ ( 8) =/ ( 2)+ /( 3)+/ ( 5) = 0 +1 +1 = 2;

/(9 ) = /( 3 ) + /( 4 ) + /( 6 ) = 1 + 0 + 2 = 3; /(10) = /(4 ) + /(5 ) + /(7 ) = 0 +1 + 0 = 1; /(1 1 )= /( 5 ) + /( 6 ) + /( 8 ) = 1 + 2 + 2 = 5;

/(12) = /(6) + /( 7 ) + /(9 ) = 2 + 0 + 3 = 5;

/(14) = /(8 ) + /(9 )+ /(1 1 ) = 2 + 3 + 5 = 10; /(15) = /(9 )+ /(1 0 ) + /(12) = 3 +1 + 5 = 9; /(1 7 ) = /(1 1 )+ /(1 2 ) + /(1 4 ) = 5 + 5 + 10 = 20;

/(2 0 ) = /(1 4 ) + /(15) + /(17) = 10 + 9 + 20 = 39.

Итак, /(2 0 ) = 39.

2)Пусть g(k;nb ri2 ,...,np) означает число способов, которыми можно

оплатить сумму в £ рублей марками достоинством в пъ п2 ,...,пр руб­

лей, если есть неограниченное число марок каждого достоинства и два способа, отличающиеся только порядком наклейки марок, считаются одинаковыми.

Для нашего случая справедлива рекуррентная формула:

g(20;6,5,3) = g(20;5,3) + g(14;5,3) + g(8;5,3) + g(2;5,3)

Первое слагаемое в правой части этой формулы соответствует случаю, когда 6-рублёвые марки не участвует в оплате суммы, второе - когда ровно одна 6-рублёвая марка участвует в оплате суммы и т.д.

Очевидно, что уЧ2:5.3) = 0, а для каждого из остальных слагаемых со­

ставим рекуррентную формулу:

g(20;5,3) = g(20;3) + g(15;3) + g(10;3) + g(5;3) + g(0;3);

g(14;5,3) = g(14;3) + g(9;3) + g(4;3); g(8;5,3) = g(8;3) + g(3;3).

fl, если £ кратно n; Понятно, что g(k;n) = <

[0, если к не кратно п.

Поэтому имеем: g(20;5,3) = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2; g(14;5,3) = 0 + 1 + 0 = 1;

g(8;5,3) = 0 + 1 = 1; g(20;6,5,3) = 2 +1 +1 + 0 = 4.

Выпишем соответствующие представления:

5.6. Рекуррентные соотношения

Рекуррентным соотношением к —го порядка называется формула, по­ зволяющая выражать значения члена последовательности с номером п

(п > К) через члены этой последовательности с номерами

п - 1, п - 2 ,..., п - к .

Решением рекуррентного соотношения называется числовая последо­

вательность, обращающая его в верное равенство при подстановке в него формулы общего члена последовательности.

Начальными условиями рекуррентного соотношения к - го порядка называются первые к членов последовательности, являющейся реше­

нием данного рекуррентного соотношения.

Линейным рекуррентным соотношением к - го порядка с постоянными коэффициентами называется соотношение вида

Общим решением соотношения (*) называется такое его решение, кото­

рое содержит к произвольных постоянных, путём подбора которых

можно удовлетворить любым начальным условиям.

Характеристическим уравнением соотношения (*) называется уравне­

Пример решения задания 5.6.1

Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка

f ( n + 5) = 4 ■f ( n + 4) - 4 • f ( n + 3) - 2 • f ( n + 2) + 5 • f ( n + 1) - 2 ■f(n).

Запишем характеристическое уравнение данного соотношения:

х5 - 4 х4 + 4х3 + 2х2 - 5х + 2 = 0.

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что Xj = 1 - корень хара­ ктеристического уравнения.

Понизим степень уравнения, поделив характеристический многочлен на

Врезультате деления получили уравнение четвёртой степени:

х4 - Зх3 + х 2 + Зх - 2 = 0.

Заметим, что х2 = 1 является корнем и этого уравнения, разделим ле­ вую часть уравнения на х —1: