тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

Будем рассматривать слова одинаковой длины в алфавите, содержащем

неопределённый символ “ - ”.

Слово а покрывает слово (3, если слово (3 может быть получено из а

заменой некоторого множества (может быть, пустого) символов неоп­ ределёнными символами.

тате работы над словом а неинициального автомата S, запущенного из состояния q. Если на некотором наборе аргументов значение выходной

функции не определено, то в соответствующей позиции выходного сло­ ва ставим неопределённый символ.

Состояние q ' автомата S' покрывает состояние q автомата S, если любое слово а, применимое к состоянию q, будет также применимо к состоянию д', причём S '(a ,q') будет покрывать S(*i,q).

Частичный автомат S' покрывает автомат S, если для любого со­ стояния q автомата S найдётся покрывающее его состояние q ' авто­

мата S'.

Автомат, покрывающий частичный автомат S и имеющий наименьшее

возможное число внутренних состояний среди всех автоматов, покры­ вающих S, называется минимальным для S.

Состояния q и q' частичного автомата S называются совместимыми,

если для любого слова а, применимого к состояниям q и q', слова

S '(a ,q ') и Л'(а, q) будут совместимы.

Множество попарно совместимых состояний автомата называется груп­ пой совместимости этого автомата.

Группа совместимости называется максимальной, если при добавлении

в неё любого состояния, она перестаёт быть группой совместимости.

Класс групп совместимости автомата S называется группировкой, если любое состояние автомата S попадает хотя бы в одну группу совмес­

тимости.

3. Парами несовместимых слов являются пары {а,Ь} и {с,Ь}, т.к. слова

а и с имеют вторым символом О, а слово b имеет на втором месте 1.

4. Примером слова е может быть слово 101101-0, которое покрывает слова а,с и d.

Задание 6.2.2

Для частичного неинициального автомата, заданного таблично, со множеством внутренних состояний {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, входным алфа­ витом {а, Ъ} и выходным алфавитом {х, у} :

1. Найти слово а длины не меньшей 7, такое, что а применимо к неко­ торому состоянию q, но любое слово, полученное из а приписыванием справа одной буквы, не применимо к q.

2.Построить максимальную группировку.

3.Построить покрывающий автомат на основе максимальной группи­ ровки.

4.Построить покрывающий автомат с помощью Т - алгоритма, убе­

диться, что каждый класс совместимости попадает в некоторый макси­ мальный класс совместимости группировки, построенной в п.2.

Таблица 6.2.2 (продолжение)

№2

Таблица 6.2.2 (продолжение)

№ 9

Таблица 6.2.2 (продолжение)

Таблица 6.2.2 (продолжение)

Таблица 6.2.2 (окончание)

Пример решения задания 6.2.2 Решим задание 6.2.2 для автомата, заданного своей таблицей состояний:

1. Построение слова а начнём “с конца”, т.е. сначала выберем в таблице клетку, в которой происходит переход в неопределённое состояние, на­ пример, клетку (а,3). В третье состояние можно перейти из второго при появлении входного сигнала а. Во второе можно перейти из первого при подаче на вход сигнала а и т.д. В результате можно получить сло­ во а = aaabaaa, причём автомат над этим словом будем запускать из состояния 7. Проверим работу автомата над словом а:

Как видим, слово а применимо к состоянию 7, но любое слово, полу­ ченное из а приписыванием справа хотя бы одного символа, не будет применимо к состоянию 7, т.к. при подаче последнего символа слова а автомат, запущенный из 7 состояния, перешёл в неопределённое со­ стояние.

2. Строим максимальную группировку. Сначала выявим с помощью треугольной таблицы все пары совместимых состояний. Правило запол­ нения таблицы остаётся таким же, как и для всюду определённых авто­ матов. На первом этапе получим (табл. 6.2.2.Ь):

Таблица б.2.2Ь

2

3

4

5

6

7

8

9

Потом, заметив, что клетка (2,5) зачёркнута, ставим крест также и на клетку (1,4), куда попала пара (2,5). Таким же образом кресты получат и клетки (1,8), (2,4) и (3,7). Окончательно имеем (табл. 6.2.2с):

Таблица 6.2.2с

2 3

'X X

Итак, каждой незачёркнутой клетке таблицы соответствует пара со­ вместимых состояний.

Построение максимальной группировки проведём по алгоритму, содер­ жащему количество шагов, равным числу внутренних состояний авто­ мата:

а) на нулевом шаге выписываем все состояния, объединяя их в один класс;