тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

Пример решения задания 2.2.3

Для произвольных множеств А, В, Н проверить, является ли выпол­ нение включения А и В <^Н необходимым и достаточным условием выполнения равенства А лН = (В A) ' J (.н \А ).

Составим булеву функцию, соответствующую высказыванию, которое надо доказать:

f( a ,b ,h ) = (( д у й ) - > / / ) о ( а + й о ( ( 6 - / > а ) у ( й ~ ^ а )))

Построим таблицу, убедимся, что заключительный столбец, являющий­ ся вектором значений функции f( a ,b ,h ) состоит из одних единиц,

что доказывает справедливость требуемого утверждения.

Задание 2.2.4

Выяснить, верно ли равенство а для произвольных А, В, С.

Таблица 2.2.4

1ИхС = (Их(С\5))и(Их(Сп5))

2Л х С = (Лх(Сг^В))и(ЛхС)

3А х (ВаС) = (Ах ( В ^ С ) \ ( А х ( СглВ))

4А х С = ( Ах ( С \ В )) и ( АхС )

5Ax(BvjC) = (AxB)vj(Ax(C\B))

6Ах ( С \ В ) = (АхС)а(Ах(СглВ))

7A x C = (Ax (CljB) )^(A x C)

8А х ( Сп (ВаС ) ) - ( А х С)а(Ах ( Сп В))

9Ах ( С \ В ) = ( АхС)\( Ах ( СглВ ))

10А х ( В^ С) = (Ах (ВаС )) ^( А х (ВглС))

11А х С = ( А х ( С и В ) ) \ ( А х ( В \ С ) )

12А х ( В п С ) - ( А х С ) \ ( А х ( С \ В))

13А х (В глС) = (А х (В vj С)) \ (А х (В дС))

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной бу­

левой функции называется её представление в виде:

Полиномом Жегалкина булевой функции f ix ^ ,х2,■■■,хп) называется её

представление в виде суммы по модулю два некоторых элементарных конъюнкций и, быть может, константы 1.

в которой нужно раскрыть скобки и упростить вьфажение с помощью соотношений:

чаемые функции от двух переменных формулами над множеством эле­ ментарных связок : отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, сумма по модулю два, эквиваленция, запрет, штрих Шеффера, стрелка Пирса.

Таблица 2.3.1

Пример решения задания 2.3.1

Разложим функцию f(x ^ ,x 2 ,х3 ,х4) = (0100 0111 1000 1011) по пере­ менным х2, х4.

Для этого случая формула дизъюнктивного разложения примет

вид:/(х 1,х 2,х3,х 4)= V х22 -х44 ■f ( x l,a 2 ,x 3 ,a4) =

(а2,а4)

= \ / х 22 -х44 • /( х 1,а 2,х3,а 4)= х2 -х4 •/ ( х ь 0,х3,0 )v

(О Д)

( W )

(1Д)

v х2 • х4 • /(x j ,0, х3,1) v х2 • х4 • /(x j ,1, х3,0) v х2 • х4 • /(x j Д, х3 Д) =

= х 2 -х 4 -/ ( x p0,x3, 0 ) v x 2 -х4 - / ( х р0,ХзД) VX2 -х 4 • / ( x 1,l,x3,0 )v x 2 -x4 -/(Х]Д,ХзД)

Запишем таблицу функции f ( x \ ,х2 ,х3,х4) и с её помощью составим

таблицы всех четырёх функций от переменных Х|, х3.

Таблица 2.3.1а

Задание 2.3.2

1. Выяснить вопрос о равносильности ДНФ f , /2, /3 сведением их к

СДНФ.

2. Преобразовать с помощью дистрибутивных законов / 2 в КНФ, уп­ ростить полученное выражение.

2.Преобразуем f 2 в КНФ. Воспользуемся одним из дистрибутивных

законов: f 2 (x,y,z) = x v (х • у ■z ) v (у ■z) =

= (xv x v y)-(xv y v y)-(xv z v y )-(x v x v z)-(xv у v z)-(xv z v z) =

= (1V y) ■(x v 1) ■( x V z v y) • (1v z) • (x V у V z) ■( x V 1) =

= \ - \ - ( x v z v y ) - \ - ( x v y v z ) - \ = (x v z v y ) ( x v y v z).

Задание 2.3.3

1.Найти двумя способами полином функции, заданной векторно.

2.Найти СДНФ;

3.СКНФ данной функции.

Запишем таблицу данной функции в развёрнутом виде:

Таблица 2.3.3а

1.Способ 1. Найдём полином Жегалкина данной функции, исходя из

= ( х +1 )(у + 0)(z + 0) + (х + 0)(_у+ l)(z + 0) + (х + 0)(_у + 0)(z + 0) =

= ( х +1 )yz + х (у +1 )z + xyz —xyz+ x z + xyz+ yz + xyz — xz +y z + xyz.

Используя таблицу функции, будем подставлять наборы значений пере­