тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

g ib ) = g(e) —{b, e}. Легко заметить, что g является отображением X на

X / ф. Для исходного отображения f (х) областью значений является множество / ( X ) = {2,4,5 }.

Рассмотрим соответствие h следующего вида: h : X / ср —>/ (X ), за­ данное равенствами: h({a,c}) = 2, h{{d}) = 4, h{{b,e}) = 5. Это соот­

ветствие всюду определено, сюръективно, функционально и инъективно, то есть h - биекция между множествами А' ф и f (X).

Рассмотрим, наконец, соответствие е : / (X ) —» Y , е(х) —х. Эго соот­

ветствие всюду определено, функционально и инъективно, то есть е(х) является взаимно-однозначным отображением f ( X ) в 7.

Итак, исходное соответствие f (х) можно представить в виде ком­ позиции соответствий g,h и е. В построении этой композиции и заклю­ чается факторизация отображения f .

Задание 1.4.4

Для данного отношения Ф=({ 1,2,3,4,5}, G ) проделать следующее:

1.Изобразить Ф графом.

2.Достроить Ф до отношения эквивалентности, указать фактор-мно­ жество.

3.Достроить Ф до отношения частичного порядка, указать максималь­ ные, минимальные элементы, а также пары несравнимых элементов.

4.Достроить Ф до отношения линейного порядка, указать наибольший

инаименьший элементы.

5.Достроить Ф до отношения строгого порядка.

6.Достроить Ф до отношения строгого линейного порядка.

Замечание: отношение достраивается с помощью введения минимально необходимого числа дополнительных рёбер.

валентности Фр добавляя минимально возможное число рёбер, обозна­ чим график полученного отношения экви­

валентности через ((]. Тогда Gj будет

Рис. 1.4.4в

иметь вид: {(1,2), (1,3), (5,4), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,1), (3,1), (4,5), (2,3),(3,2)}.

Изобразим граф отношения Ф, (рис. 1.4.4в):

Укажем фактор-множество для А = {1,2,3,4,5 } по отношению Ф;:

А/(р 1 = {{1,2,3},{4,5}}. Отметим, что индекс разбиения множества

Аравен 2.

3.Достроим Ф до отношения частичного порядка Ф2, обозначив график

этого отношения через G2.

G2 = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (1,3), (5,4)}.

Изобразим граф Ф2 (рис. 1.4.4с):

Минимальными элементами здесь яв­ ляются 1 и 5, максимальными элемента­ ми - 2, 3 и 4.

4

Пары несравнимых элементов: {1,4},{1,5}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {2,3}.

Рис. 1.4.4с

4. Достроим Ф до отношения линей­ ного порядка Ф3, обозначив график

этого отношения через G3.

Изобразим граф отношения Ф

(рис. 1.4.4d):

Рис. 1.4.4d

Наибольшим элементом здесь является 3, а наименьшим - 5.

5. Само исходное отношение Ф является отношением строгого порядка, так что достраивать его нет необходимости.

6. Достроим Ф до отношения строгого линейного порядка Ф4, обозначив график этого отношения через G4.

G4 =G3 \Aa ={(5,4),(5,1),(5,2),(5,3),(4,1),(4,3),(4,3),(1,2),(1,3),(3,2)}.

Изобразим граф отношения Ф4 (рис. 1.4.4е):

Задание выполнено

Рис. 1.4.4е

Глава 2. Булевы функции

2.1 Булевы функции. Суперпозиции

Булевой функцией (сокращенно бф) называется функция вида

/ : Е п —>Е, где Е —{ОД}, т.е. / ( х , ,х2,..х п ), принимающая значения

О, 1 и аргументы которой могут принимать значения 0, 1.

Множество всех булевых функций будем обозначать через Р2.

В таблице, задающей бф, наборы значений переменных пишут в опре­ деленном порядке - лексикографическом, который совпадает с порядком

возрастания наборов, рассматриваемых как числа в двоичной системе счисления.

Булевы функции, заданные таблицами 2.1а, 2.1в, будем считать элемен­ тарными.

Используются обозначения:

и = (flj,а2,..а г-1,0,а1+1,...,а„), v = (аг,а2,..a t_r,1,а1+1,...,ап).

щью подстановок этих функций друг в друга на места переменных, а также с помощью переименования переменных. Выражение, описы­