тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

По теореме о виде общего решения линейного рекуррентного соотно­ шения с постоянными коэффициентами, запишем общее решение:

Пример решения задания 5.6.2

Найти общее решение рекуррентного соотношения 5-го порядка

2п\ С4 cos — + С5 sin — | В итоге получаем общее решение исход­

ного рекуррентного соотношения.

Комплексное число -1 + /-\/3 имеет модуль г —2 и аргумент ф = — .

Запишем общее решение исходного рекуррентного соотношения:

х„ = Q 2" + С23й + 2 Й^С3 cos ^ + С4 яи ^

Учтём начальное условие х0 = 0:

О = С3 2° + С23° + 2° Сз cos 0 + С4 s/w 0^ откуда С3 = —С2 —С3..

Подставляя выражение для в формулу общего решения, получим ответ.

Ответ: хл = (-С 2 - С 3)-2 ” + С 23” + 2”^С3 с г а ^ + С4 я и - ^

Задание 5.6.4

Найти общее решение рекуррентного соотношения 4-го порядка

Пример решения задания 5.6.4 Найти решение рекуррентного соотношения 4-го порядка

/ ( и + 4) = 6 - /( и + 2) + 8 -/(и + 1 ) + 3 - fin ) с начальными условиями

Л 0) = 0; /(1) = -6; /(2 ) = -4; /(3 ) =-34.

Запишем характеристическое уравнение данного соотношения:

х 4 —6 х 2 —8х —3 = 0. Подстановкой убеждаемся, что х1 = —1 - ко­

рень характеристического уравнения. Понизим степень уравнения, по­ делив характеристический многочлен на х +1 по схеме Горнера:

В результате деления получили уравнение третьей степени:

х3 - х 2 - 5 х - 3 = 0.

Заметим, что х2 = —1 также является корнем этого уравнения, разделим левую часть уравнения на х +1:

х3 = -1, х4 = 3.

Общее решение исходного соотношения имеет вид:

f(n ) = ( - \) n(A +Bn +Cn2) +D T .

Учтём начальные условия, получим систему линейных уравнений:

- А -Ъ В - 9С + 21D = -34

Решив эту систему, будем иметь: А =1, В = 2, С = 0, D = —1.

Подставив найденные значения констант в формулу общего решения,

Глава 6. Конечные автоматы

6.1. Автоматы Мили

Автоматом Мили будем называть пятерку объектов S = (A,Q ,V,8 ,X),

где А = {а3,... ,ап} - входной алфавит;

О = {qj,...,qm} - множество внутренних состояний; V — - выходной алфавит;

8 : A x Q —>Q - функция переходов;

X : A x Q —>V - функция выхода.

Таблица, задающая функции переходов и выхода, называется таблицей состояний автомата.

Диаграммой состояний автомата Мили называется ориентированный

граф, в котором количество вершин равно количеству состояний данно­ го автомата Мили и помечено символами внутренних состояний; дуга,

выходящая из любой вершины q , и заходящая в вершину q j, помечена

символами at,vr, причём b(at .q ,) = , X(at,qi) = vr.

Автомат Мили называется инициальным, если он всегда начинает свою

работу из одного и того же состояния ( ) .

Автомат Мили называется неинициальным, если он может начинать

свою работу из любого своего состояния.

Работа автомата Мили связана с двумя бесконечными лентами, разби­ тыми на ячейки, причём в каждой ячейке может быть записан один сим­ вол некоторого алфавита.

Работа автомата Мили над словом а , записанным на входной ленте,

проходит следующим образом:

1) считав символ в ячейке входной ленты, обозреваемой считы­ вающим устройством автомата Мили, он печатает в ячейку выходной ленты символ, найденный с помощью функции выхода v, двигается вдоль лент вправо и переходит в состояние, определяемое с помощью функции перехода 5;

2) работа автомата продолжается до тех пор, пока все ячейки, содержащие символы данного слова, не будут пройдены.

Тактом времени называют промежуток, за который конечный автомат

обрабатывает одну ячейку.

Дешифратором называется инициальный конечный автомат, выходным

алфавитом которого является множество {0,1}, причём на вход подаётся бесконечная последовательность символов некоторого алфавита и сим­ вол 1 печатается в том и лишь в том случае, если в данный момент вре­ мени считывающее устройство автомата обозревает последний символ уже считанного слова а, фиксированного для данного автомата, а на ленте записано слово, в которое входит а. Слово а называется кодовой комбинацией этого автомата.

Неинициальный автомат называется сильно связным, если для любых

состояний автомата q , и qj найдётся слово а такое, что автомат, на­ чавший работу в состоянии q , при считывании слова а переходит в состояние qj.

Состояния q , и qk неинициальных автоматов А1 и А2 называются

эквивалентными, если для любого слова а, составленного из букв вход­ ного алфавита, выходные слова, полученные при работе автоматов А1 и

А2, запущенных соответственно из состояний q , и qk над словом а,

равны.

Автоматы А1 и А2 называются эквивалентными, если для любого со­

стояния q, автомата А1 найдётся эквивалентное ему состояние £//- ав-

*

томата А2 , а также, если для любого состояния qk автомата А2 най­ дётся эквивалентное ему состояние £/, автомата А1.

Автомат Amin называется минимальным для автомата А. если он явля­ ется эквивалентным автомату А и содержит наименьшее число внут­ ренних состояний среди всех автоматов, эквивалентных автомату А.