тюмгу / Тишин В.В. Дискретная математика в примерах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»

В.В. Тишин

Дискретная математика в примерах и за­ дачах

Электронное учебное пособие

САМАРА

2007

Автор: ТИШИН Владимир Викторович

Дискретная математика - одно из самых динамично развивающихся направлений современной математики, и тотальная компьютеризация всех областей нашей жизни приводит к постоянному росту спроса, как на программистов, так и на специалистов, разрабатывающих математи­ ческие основы компьютерных технологий.

Важным моментом усвоения математики и овладения её методами явля­ ется самостоятельная работа учащегося. Система индивидуальных за­ даний активизирует самостоятельную работу студентов и способствует более глубокому освоению курса и отработке приёмов решения задач.

Всем, имеющим отношение к преподаванию дискретной математики, знакомы, ставшие классическими, задачники: «Задачи и упражнения по дискретной математике» Т.П. Гаврилова и А.А. Сапоженко, «Алгебра логики в задачах» С.Г. Гиндикина, а также «Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов» И.А. Лаврова и Л.Л. Максимовой, но в настоящее время ощущается потребность в задачни­ ках по дискретной математике, содержащих серии однотипных задач для выполнения студентами индивидуальных заданий.

Настоящий сборник отражает многолетний опыт работы автора, приоб­ ретённый им в Самарском государственном аэрокосмическом универ­ ситете им. С.П. Королёва при чтении лекций, а также при ведении прак­ тических занятий по курсам «дискретная математика» и «математиче­ ская логика и теория алгоритмов».

Система индивидуальных заданий, практикуемая в СГАУ с 80-х годов прошлого века, хорошо себя зарекомендовала. При проведении практи­ ческих занятий студенты с большим вниманием следят и активно участ­ вуют в решении и разборе задач, аналогичных тем, что им придётся вы-

поднять индивидуально. Большинство разделов курса дискретной мате­ матики подкреплено и проиллюстрировано индивидуальными задания­ ми, и самостоятельное решение студентами задач помогает им лучше усвоить теорию и получить практические навыки работы с объектами, являющимися предметом изучения дискретной математики. Выполне­ ние комплекса задач, вошедших в данное пособие, даёт возможность студентам освоить базовые понятия дискретной математики, прочувст­ вовать связи между ними и отработать приёмы решения основных ти­ пов задач данного предмета.

Каждое задание даётся в 30 вариантах, и для каждого задания в сборни­ ке приведён образец решения, что может помочь студентам вниматель­ но разобрать предлагаемые способы решения задач и грамотно офор­ мить выполненные индивидуальные задания.

Данное пособие может быть также полезно для вузов, практикующих заочную форму обучения, а также для всех энтузиастов, решивших изу­ чить дискретную математику самостоятельно.

Пособие состоит из 6 глав:

□Множества, графики, соответствия, отношения;

□Булевы функции;

□Теория алгоритмов;

□Предикаты;

□Комбинаторика;

□Конечные автоматы.

Вначале каждой главы вводятся понятия, даются определения и форму­ лировки теорем, используемых при выполнении заданий, что практиче­ ски исключает необходимость привлечения дополнительной литерату­ ры по рассматриваемой тематике.

Глава 1.

Множества, графики, соответст­ вия, отношения

1.1. Операции над множествами

Запись х е А означает, что элемент х принадлежит множеству А. Ес­ ли х не является элементом множеств А, то пишут х ф А или х е А . Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Будем писать А = В, если А и В равны и А Ф В в

противном случае.

Множество называется пустым и обозначается 0 , если оно не содержит

элементов.

Будем говорить, множество А включено в множество В и писать А с: В,

если каждый элемент множества А является элементом множества В . В этом случае А называется подмножеством множества В . Считается,

что для любого А справедливо включение 0 с А

Если Л с й и Al= В, то будем писать А а В и говорить, что множест­

во А строго включено во множество В.

Семейство всех подмножеств данного множества А обозначается

Р(А).

Мощностью конечного множества А будем называть число его элемен­ тов. Мощность конечного множества А обозначается \А\.

Объединением множеств А я В называется множество

А улВ —{х | х е А или х е В]

Пересечением множеств А и В называется множество

А глВ = {х| х е А и х&В}

Разностью множеств А и В называется множество

А \В = {х | х е А и х<£В}

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами неко­ торого универсального множества U , то разность U \ А называется до­

полнением А и обозначается А .

Симметрической разностью множеств А и В называется множество

А а В = ( А \ В ) ^ ( В \ А ) .

Будем говорить, что множества А и В находятся в общем положении, и

Примеры решения задания 1.1.1

Пример 1.

а) Справедливо ли в общем случае утверждение :

б) Может при некоторых А, В, С и D выполняться набор условий: А а В, В с С и С с D, и А с D ?

Да может. Это следует из справедливости утверждения в пункте а).

Тогда { x } c { x ,j } и {x,y}e{{x,y},z}e{{{x,y},z},w} .

Но в то же время неверно, что {х} cz {{{x,y},z},w} , так как единст­

С= ( А а В ) а А..

2.Выяснить, какая из пяти возможностей выполнена для множеств А и

получим многочлен х3 —6х 2 + 32.

Также подбором устанавливаем, что -2 является корнем многочлена

В \А = {4},

А А В —{-4,3,4}, 5 = {-5,-4,-3,-1,2,3,5},

С = ( А а В ) а А = {-4,3,4}д{1 ,-2 ,3 ,-4 } ={4}и{ 1,-2}={-2,1,4}.

2. Так как - 4 е А и - 4 ё С , 4 е С и 4 <£А, 1 е А га С, значит, AGDB .

3. Р(В) = {0 , {-2}, {1}, {4}, {-2,1}, {-2,4}, {1,4}, {-2,1,4} }.

Как видим, Р( В) содержит 8 элементов, т.е.