§13. О математических моделях, описываемых дифференциальными уравнениями

При решении прикладных задач часто в качестве математических моделей встречаются не только конечные, но и дифференциальные уравнения, т.е. такие, в которых неизвестной величиной является не число, а функция, содержащаяся под знаком производной или дифференциала.

Отметим, что нередко фундаментальные законы природы записываются в виде дифференциальных уравнений, например закон Ньютона .

13.1. Задача о росте населения

Сначала рассмотрим из разных областей знания задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений.

Задача 1. Население страны возрастает на % в год. Найдите численность населения через лет, если при .

Эта задача нами уже рассматривалась, но для её решения мы пользовались математической моделью, основанной на принципе сложных процентов. Здесь же построим другую модель, в основание которой положено естественное предположение о том, что скорость роста населения в момент времени пропорциональна его численности . Но мгновенная скорость изменения величины, зависящей от , определяется её производной, тогда как функция не является даже непрерывной. Поэтому нам необходимо изменить действительную картину роста численности населения так, чтобы сделать возможным применение производной. Эта замена реального процесса на его математическую модель, с использованием производной основана на том, что малому приращению времени соответствует малое приращение численности населения . Это позволяет нам говорить о скорости роста в данный момент времени и заменить близкой к ней дифференцируемой функцией или, еще проще, считать дифференцируемой , значения которой в общем случае принадлежат множеству действительных чисел. Итак,

или

, (13.1)

где – коэффициент пропорциональности. Умножим обе части уравнения (13.1) на , получим или , откуда – постоянная. Из последнего уравнения имеем: . Так как , то , и .

Для нахождения коэффициента воспользуемся тем, что через год, т.е. при численность населения увеличилась на %, тогда получим , т.е. , откуда

, если значительно мень-ше 1. В этом случае расчёты по обеим моделям практически совпадают [15, c. 112].

13.2. Задача о колебаниях пружинного маятника

Задача 2. Тело массой совершает вдоль прямой горизонтальные колебания под действием пружины (рисунок 12.3). Исследуйте характер движения этого тела, пренебрегая массой пружины, трением и сопротивлением среды.

Решение: Ось направим вдоль прямой колебаний, а начало координат поместим в точке равновесия.

Тогда положение тела, моделируемого материальной точкой, определяется его абсциссой , которая зависит от времени, т.е. является функцией : . Нужно найти эту функцию и по ней исследовать характер колебаний.

По закону Гука сила натяжения пружины пропорциональна её удлинению. В нашем случае проекция силы на ось равна , где коэффициент пропорциональности , а знак минус поставлен потому, что сила упругости пружины направлена от тела к началу координат (к положению равновесия). По второму закону Ньютона имеем дифференциальное уравнение: или

, (13.2)

где . Теперь интересующие нас выводы будем получать из решения этого уравнения, а не из непосредственного, например, экспериментального исследования самого физического процесса. Именно это уравнение математически выражает общие законы (Ньютона и Гука) и условия рассматриваемого колебательного процесса, и потому является (называется) его математической моделью.

Приведём решение уравнения (13.2), основанное на физических представлениях. Для этого проведем окружность радиуса r с центром в начале координат (рисунок 13.1) и рассмотрим равномерное движение точки М по этой окружности с угловой скоростью , квадрат которой равен , тогда модуль центростремительного ускорения этой точки будет или, с учетом того, что , получим .

Рисунок 13.1 - Равномерное движение точки по окружности

Так как центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру, последнее равенство в векторной форме примет вид

причем – вектор, направленный от центра и, имеющий длину . Учитывая, что проекция ускорения на ось есть вторая производная от абсциссы по времени, получим дифференциальное уравнение второго порядка

решение которого может быть истолковано как зависящая от времени абсцисса точки М при её равномерном движении по окружности против хода часовой стрелки. Найдём эту зависимость. Пусть при точка совпадает с (рисунок 13.1), тогда в момент времени радиус будет составлять угол с и угол с осью , поэтому абсцисса точки как функция будет равна

. (13.3)

Итак, модели (13.2) и (13.3) равносильны. Но первая описывается дифференциальным уравнением, а вторая – конечным. Отметим, что колебания материальной точки на пружине, движение проекции точки М на диаметр при равномерном её движении по окружности, малые колебания математического маятника, колебания тока в электрической цепи и многие колебательные процессы другой природы с соответственно подобранными параметрами и начальными условиями будут иметь одну и ту же математическую модель.

«Поэтому, изучив математическую модель, мы можем часто делать выводы о свойствах разнообразных объектов. Кроме того, если различные объекты имеют одинаковую математическую модель, то становится возможным моделировать один из этих объектов другим. Например, вместо исследования колебаний сложной линейной механической системы можно производить измерения в соответственно подобранной электрической цепи, имеющей ту же математическую модель. На этом основано действие электромеханических, оптико-механических и других аналоговых устройств. Замечательно, что при применении таких устройств сама математическая модель как бы остается в стороне (значения интересующих нас механических величин непосредственно получаются по результатам электрических измерений), хотя именно на единстве модели основана возможность этого применения»[24, с.11 – 12].