8.4. О необходимости соблюдения правила размерностей

И в заключение обратим внимание на необходимость строго соблюдать правило размерностей, вспомнив исторический анекдот, рассказанный много лет назад в журнале "КВАНТ".

"Однажды (дело происходило в начале 20 века) на заседании ученого совета университета выступил заведующий кафедрой богословия, который заявил, что студенты-физики очень несерьезно относятся к его предмету, невнимательны на лекциях и привел особенно возмутительный пример. Поднял я на лекции одного, который сам не слушал и другим не давал, и сказал ему: "Молодой человек, я только что объяснил, что такое божественная сила. Повторите". "Божественная сила есть произведение божественной массы на божественное ускорение", сказал он. Разве это не возмутительно?

Следующим взял слово один из профессоров физики и сказал, что он, совершенно согласен с предыдущим оратором, что это действительно безобразие: студенты-физики обязаны знать, что при умножении божественной массы на божественное ускорение божественность войдет в произведение в квадрате. Следовательно, для получения божественной силы один лишь множитель должен быть божественным».

Этот исторический анекдот хорошо иллюстрирует известное правило: если при вычислениях или преобразованиях с именованными величинами размерности левой и правой частей равенства или неравенства различны или размерности слагаемых в алгебраической сумме не совпадают, то в решении допущена ошибка.

Я часто удивляюсь тому незначительному

вниманию, которое уделяется великому

принципу подобия даже со стороны

весьма крупных ученых.

Д. Релей

§ 9. МЕТОД ПОДОБИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ПОСТРОЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

9.1.О геометрическом подобии

По-видимому, на практике исторически первым применялось математическое моделирование, основанное на принципе подобия алгебраически описываемом пропорцией, представляющей равенство двух отношений или с функциональной точки зрения – функцией . Для получения необходимых экспериментальных данных с целью определения величин, входящих в пропорцию или коэффициента в линейную функцию используются удобные для исследования масштабы. Различают подобие геометрическое и физическое.

Две геометрические фигуры подобны, если отношения длин всех соответственных элементов одинаковы. Например, картина и ее фотоснимок представляют подобные фигуры. Если известен коэффициент подобия – масштаб, то простым умножением на величину масштаба линейных размеров – длин отрезков или дуг – одной геометрической фигуры получают соответствующие размеры другой, ей подобной. Подчеркнем, что на возникающий при этом вопрос, каким по величине мы увидим, например угол в 9 градусов, если будем рассматривать его в лупу с десятикратным увеличением, ответ однозначный: таким же, он не изменится.

Пусть, например, требуется определить высоту треугольной в плане башни, не производя непосредственно измерение высоты (рисунок 9.1). Если имеется фотоснимок башни, то, используя условие подобия можно довольно просто получить результат.

Рисунок 9.1 – Подобие объектов

Измерив легкодоступный размер на натуре и размеры и на модели (фотоснимке) на основании подобия, составим пропорцию и найдем: . Такой подход всегда применим, если известно, что соответствующие фигуры подобны. В этой связи отметим, что точнее было бы говорить о подобии математических моделей объектов, так как сами объекты могут обладать и некоторыми особенностями, не включенными в модель.

Рисунок 9.2 – подобие кругов

– длина окружности радиуса ,

– длина окружности радиуса

Поскольку все окружности (круги) подобны, то, рассмотрев рисунок 9.2, можно написать равенство

или ( ) и, следовательно, . Постоянное число можно определить из эксперимента с любым круговым диском (моделью). Так, взяв и измерив длины его диаметра и граничной окружности, легко оценим .

Установим также формулу площади круга. Так как все круги подобны, то из того же рисунка на основании теоремы о том, что площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных отрезков, следует:

или , где – константа. Поэтому .

Учитывая, что все круги подобны, приходим к выводу, что  – величина постоянная: и может быть приближенно определена экспериментально, например, взвешиваниями круга и единичного квадрата, вырезанных из однородного тонкого картона. При этом получается: . Итак, .

Поскольку объемы пространственных подобных фигур относятся как кубы сходственных отрезков, то для двух шаров, большие круги которых указаны на рисунке 9.2, имеем:

или , где – константа.

Поэтому , т.е. и может быть, как указано выше, определено экспериментально, погрузив полностью шарик от подшипника в мерный сосуд с водой: , точно .

Отметим, что площади сферических поверхностей относятся как квадраты их радиусов и потому , где –константа. Следовательно, , причем нетрудно выразить через .

В случае геометрического подобия изучение натуры при помощи ее модели довольно простое: отношение длин сходственных отрезков постоянно, площади подобных фигур пропорциональны квадратам длин их сходственных линий, объемы подобных тел, а также объемы любых соответственных их частей пропорциональны кубам длин их сходственных линий. Однако, если очевидны утверждения: любые две окружности подобны, любые два равносторонних треугольника подобны, картина и ее соответствующий фотоснимок подобны, то в более сложных ситуациях нужно знать достаточные условия подобия, чтобы из них можно было делать соответствующие выводы.