8.2. Простейшие задачи

Сначала установим формулу зависимости объема шара от радиуса. Поскольку шар полностью определяется величиной радиуса, и измеряется в м, а – в м³, то задача сводится к отысканию такой математической операции, которая «превращает» метры погонные в метры кубические. Очевидно, существует только одна такая операция. Это – возведение в куб. Поэтому , где – безразмерная постоянная, так как шар однозначно определяется величиной радиуса, имеющего размерность длины. Число с можно определить экспериментально, полностью погрузив однородный шарик, например от подшипника, в мерный сосуд с водой:

, точно .

Конечно, в этой задаче структура функциональной связи была очевидной. Теперь рассмотрим более сложный пример определения структуры функциональной зависимости пути, пройденного при падении материальной точки (при отсутствии сопротивления и при начальной скорости ), от ускорения свободного падения и времени , т.е.

. (8.1)

На основании сказанного выше, можно написать, что

, (8.2)

где – безразмерная величина, a и b – рациональные числа. Тогда, записав уравнение размерности, соответствующее общей формуле (8.2), получим:

.

Отсюда

т.е. .

Из выражения (8.2) имеем:

(8.3).

Поскольку число параметров и , определяющих величину в (8.1) равно числу основных единиц измерения и , то [32, с. 32] эта зависимость полностью определяется с точностью до постоянного множителя, т. е. C не только безразмерная, но и постоянная, которая не может быть найдена на основе анализа размерностей. Как правило, константы в таких случаях определяются экспериментально. Но в рассматриваемом случае ее легко найти и без обращения к опыту. Из физического смысла второй производной от пути по времени имеем:

, т.е. и , тогда .

Отметим, что в свое время оппоненты Галилея утверждали, что зависит от массы тела . Галилей экспериментально показал, что одновременно сброшенные с Пизанской башни (с начальной скоростью равной нулю) два камня – тяжелый и легкий – падают на землю также одновременно. Однако опыт не убедил оппонентов. Посмотрим, какой ответ на этот вопрос дает нам анализ структуры соответствующей функциональной связи. Итак, пусть

. (8.4)

Тогда , (8.5)

где – безразмерная величина, d, a и b – рациональные числа. Теперь, записав уравнение размерности, соответствующее общей формуле (8.5), получим:

.

Значит,

т.е. . Отсюда из равенства (8.5) следует, что правая часть (8.4) и вместе с ней и левая не зависят от массы, что подтверждает правоту Галилея.

8.3. Основная теорема о функциональной зависимости размерных величин

Для установления структуры функциональной связи большое значение имеет основная теорема. Её сущность состоит в том, что функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде

, (8.6)

где - безразмерные показатели, – любое произведение, имеющее размерность величины , а аргументы … – безразмерные степенные комбинации величин . Если же из величин можно составить только одну комбинацию , имеющую размерность , то , где – константа.

Подчеркнем, что в этой теореме речь идет не о том, что каждая зависимость имеет вид (8.6), а о том, что каждую зависимость можно в такой форме представить. Так, например, зависимость между сторонами прямоугольного треугольника:

, может быть представлена в виде ,

где в правой части стоит произведение величины а, имеющей размерность с, на функцию от безразмерной комбинации .

Зависимость также может быть представлена в форме , где имеет размерность , а выражение в скобках – величина безразмерная.

В качестве ещё одного примера определим период колебания математического маятника (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – Модель математического маятника

Период его колебаний будет однозначно определен, если задать и начальные условия: при и . Таким образом, период колебаний маятника является функцией (силами сопротивления пренебрегаем).

Вообще, для установления структуры функциональной связи удобно входящие в нее величины свести в таблицу, которая в рассматриваемом случае примет вид:

Физическая величина	Обозначение	Размерность
Период колебаний
Длина подвеса
Ускорение силы тяжести
Максимальный угол отклонения		Безразмерная величина

Как и выше, представим в виде степенной комбинации , где и – безразмерные величины, а зависит, по крайней мере, от . В этом случае уравнение размерности будет иметь вид:

.

Следовательно, имеет место система:

из которой ,

т.е. степенная комбинация , размерность которой совпадает с размерностью , единственная, а потому

, (8.7)

где функция только одного безразмерного аргумента и структура зависимости (8.7) соответствует основной теореме. Из соображений симметрии очевидно, что – функция четная. Поэтому при малых имеем

т.е. для малых колебаний члены со степенями и выше отбрасываем, тогда для периода получим формулу

, (8.8)

где постоянная с₁ может быть найдена, например, из опыта.