21.9. Алгебра правды и лжи

Эта алгебра позволяет иногда выявлять истину из сведений, содержащих правду и ложь. Эквивалентом всякого верного высказывания в ней будем считать число 1, а ложного – число 0. Тогда имеющуюся информацию можно закодировать буквами и составить из них и чисел 0 и 1 соответствующие алгебраические выражения и равенства. Если буквами и обозначены два верных высказывания, т.е. каждая буква имеет значение 1, то и + =1. Если же или имеет значение 0, то .

Задача [Детская энциклопедия, Т. 2. – М.: Просвещение, 1965.– С. 386]. Однажды в семье произошёл такой разговор:

Мама. Вчера мне сказали, что Саша, сын Николая Ивановича, уже окончил институт, а ему ещё только двадцать один год.

Папа. Ты что - то напутала, дорогая. Сына Николая Ивановича зовут Костя, и ему ещё только недавно исполнилось восемнадцать.

Дочь. Я не знаю семьи Николая Ивановича, но помню, подруга утверждала, что его сыну 25 лет, и при этом называла она его другим именем, не Сашей.

При помощи вычислений определите имя и возраст сына Николая Ивановича, полагая, что в каждой из полученных информаций содержатся верные сведения либо только о возрасте, либо только об имени.

Решение [там же, с. 471]. Введём обозначения: – Саша, – Костя, – не Саша, – 18 лет, – 21 год, – 25 лет. Тогда мама сказала , папа сказал , а дочь сказала . Так как часть каждой информации неверна (имеет значение 0), то

и , , .

Сын Николая Ивановича не может иметь сразу два имени и два возраста; следовательно,

.

Перемножим суммы и , тогда ; после выбрасывания нулевых членов останется равенство: . Перемножим эту сумму и сумму , что после выбрасывания нулевых членов даёт равенство: , откуда следует, что , , (верная информация). Значит, сына Николая Ивановича зовут не Саша ( ), а Костя ( ) и возраст его 21 год ( ).

Этот ответ является следствием преобразований над логическими уравнениями. Проверим его по тексту задачи.

1. Он удовлетворяет высказыванию мамы, так как вторая часть в нём верна (сыну Н.И. – 21 год), а первая неверна, поскольку сына Н.И. зовут не Саша, а Костя.

2. Проверяемый ответ удовлетворяет высказыванию папы, так как первая часть в нём верна, а вторая неверна.

3. Приведённый выше ответ удовлетворяет и информации дочери, поскольку в ней первая часть верна, а вторая нет.

Итак, полученный выше ответ удовлетворяет всем условиям задачи, и потому сына Николая Ивановича действительно зовут Костя и ему 21 год.

Задача из журнала «Техника молодёжи» № 5, 1960. При решении одной задачи ученики дали три ответа: 1) есть иррациональное число, равное площади правильного треугольника, у которого сторона .

2) – число кратное 4 и равно радиусу окружности, длина которой равна 2.

3) и равно диагонали квадрата, сторона которого равна 2.

В каждом ответе одна часть верна, другая неверна. Чему равно ?

После упрощения условий, ответы учеников можно записать так:

1. – число иррациональное, равное .

2. – кратно 4 и равно .

3. и равно .

Решение этой задачи приведено в брошюре И.Я. Депмана «Первое знакомство с математической логикой», изданной Ленинградской организацией общества «ЗНАНИЕ» в 1965 году. В нём предполагается, но не обосновывается, что – иррациональное число.

Сначала рассмотрим решение без применения логических уравнений, для чего вначале убедимся в том, что – иррациональное число. Предположим противное, т.е. – число рациональное. Тогда, из первого ответа, приведённого в тексте задачи, следует, что утверждение « есть число иррациональное» - ложно, следовательно, второе высказывание о том, что это число равно площади правильного треугольника, сторона которого равна 2, истинно по условию задачи. Но указанная площадь равна , т.е. , что противоречит предположению: – число рациональное. Итак, – иррациональное число.

Поскольку во втором ответе учеников первая часть « кратно 4» неверна, так как иррационально, то верна вторая часть ответа . Проверкой по тексту задачи убеждаемся, что это значение удовлетворяет всем её условиям. Значит, .

Теперь приведем решение с применением логических уравнений. В этой связи отметим, что, если задача сведена к решению уравнения или системы, то мы представляем, к какому множеству чисел (в более общем случае – объектов) должно принадлежать решение. Поскольку ответы учеников: « кратно 4» и « меньше 3» не исключают того, что может быть и рациональным, под следует понимать вещественное число.

Итак, обозначим через неизвестное вещественное число, с помощью которого введём обозначения для ответов:

– число иррациональное,

– равно ,

– кратно 4 ( – натуральное число),

– равно ,

– меньше 3,

– равно .

Теперь на основании трёх ответов учеников составим систему трёх уравнений:

,

,

+ .

Перемножая почленно первые два уравнения, получаем:

+ + +

+ = 1. (*)

=0,

так как число не может быть иррациональным и рациональным (в рассматриваемом случае – целым).

= 0

по той же причине.

=0, так как ≠ .

Следовательно, уравнение (*) принимает вид

= 1. Значит, .

Непосредственной проверкой убеждаемся, что это значение удовлетворяет и третьему уравнению системы. (Проверку можно сделать и по тексту задачи).

Итак, ответ: .

Таким образом, задача может быть решена как с применением логических уравнений, так и с помощью дедуктивных рассуждений, активно используемых при арифметическом решении задач. В этой связи приведём один эпизод из биографии Альберта Эйнштейна, который, будучи гимназистом первого класса, услышал, что старшие ученики говорят об алгебре. Придя, домой, он спросил у дяди, что это за алгебра? Дядя ответил: «Алгебра – это арифметика лентяев. Им лень думать, поэтому они обозначают искомое число какой-нибудь буквой, делают механические преобразования и получают ответ».

Конечно, бывают задачи, которые алгебраически решаются проще, чем арифметические, но бывает и наоборот.

В таких случаях целесообразно приводить рациональные и даже оптимальные решения.

Суть метода имитационного моделирования состоит

в том, что процесс функционирования сложной

системы представляется в виде определенного

алгоритма, который и реализуется на ЭВМ.

А.Б. Горстко