1.2. О гуманитарной значимости математических моделей

Уже из рассмотренного выше примера определения площади пола комнаты видно, что при построении математических моделей используют не материальные предметы, такие как дерево, пластмасса …, а идеализированные, математические объекты: фигуры, параметры, произведение, равно, формула и т.п.

Большую значимость, особенно гуманитарную и даже гуманистическую имеют математические модели, позволяющие находить экономически эффективные и экологически чистые решения, способствующие сохранению не только материальных ценностей, но и жизней. Ярким примером тому служит «таблица непотопляемости», т.е. математическая модель живучести судна.

Известно, что корпус корабля разделен водонепроницаемыми перегородками на отсеки, чтобы при пробоинах вода не залила корабль полностью. Если в каком-то отсеке образуется пробоина, и он заполняется водой, то для уменьшения крена приходится сознательно заполнять водой отсеки с противоположного борта. Однако, были нередко случаи, когда капитан корабля отдавал приказ о затоплении не тех отсеков: судно переворачивалось и погибало.

Оригинальную меру предотвращения такого катастрофического исхода предложил выдающийся корабел и математик, академик А.Н. Крылов. Еще при проектировании судна можно рассчитать, как скажется на его крене затопление каких-то отсеков и какие отсеки с противоположной стороны необходимо затопить для выравнивания крена, а результаты таких расчетов свести в «таблицу непотопляемости». Теперь такими таблицами снабжаются суда всех флотов мира.

Простая идея и модель живучести судна, но сколько жизней и материальных ценностей было, да и будет спасено! [23, с. 42 – 43]

А, если такая таблица предотвращает катастрофу танкера с огромным количеством нефти, которая не выливается в море, то это уже будет свидетельствовать и о большой её экологической значимости.

Теперь приведём пример прямой помощи, которую может оказать соответствующая математическая модель такой гуманитарной науке как история. Так, древнегреческий историк Геродот рассказывал, что когда воевавшие между собой лидийцы и мидяне сошлись на поле боя, началось неполное солнечное затмение. Диск солнца начал сокращаться, сумерки опускались на землю. Это небесное явление повергло сражавшихся в суеверный ужас. Противники истолковали затмение как знамение богов, повелевавших прекратить войну, и они заключили мир.

Историкам не была известна точная дата этого события. Они относили его ко времени между 626 и 583 годами до н. э. Вместе с тем знание этой даты проливало свет на хронологию других важных исторических событий. Эту задачу можно решить, используя математическую модель солнечной системы, позволяющую путем вычислений устанавливать ход светил как в будущем, так и в далеком прошлом. По этой модели было определено, что описанное Геродотом сражение произошло 28 мая 585 года до н. э.

Кстати, координатная или числовая ось, с которой мы познакомились ещё в школе, является в частности математической моделью хронологии исторических событий, причём её отрицательная полуось отражает события, происшедшие до н.э., положительная – моделирует события н.э., а начало координат соответствует Рождеству Христову.

Отметим также, что математическая модель, представляющая золотую пропорцию (деление отрезка в среднем и крайнем отношении) широко применяется в живописи и архитектуре при создании целостной гармонической формы, наиболее полно выражающей содержание произведения [14, с. 6].

О большой гуманитарной значимости математических моделей свидетельствует и тот факт, что великий русский писатель Л.Н. Толстой на первых двух страницах третьей части третьего тома романа «Война и мир» приводит краткое, но выразительное описание приема, составляющего сущность анализа бесконечно малых (т. е. математического анализа, основы которого теперь излагаются в 10 – 11 классах средней школы при изучении дисциплины «Алгебра и начала анализа»), а затем эти соображения используются им для более глубокого понимания законов «исторического движения».

Укажем также на математическую характеристику ценности человека, предложенную Л. Н. Толстым. Она представляет собой такую математическую модель, как дробь, в числителе которой находятся достоинства человека, а в знаменателе – его мнение о себе. Чем больше действительных достоинств у человека, тем больше дробь, но чем больше его мнение о себе, тем дробь меньше. Конечно, эта математическая модель, как и любая другая, имеет свои границы применимости, исключающие случаи, при которых человек почти без достоинств, но без самомнения имел бы очень большую ценность.

Очень важной была роль математического моделирования в создании новой боевой техники в годы Великой Отечественной войны, но особенно впечатляющие результаты были получены нашими математиками в совершенствовании военной авиации.

Овладевая в эти годы большими скоростями, наши авиаконструкторы столкнулись с возникновением опасных вибраций (флаттер), которые вызывали мгновенное разрушение самолетов в воздухе. Кроме того, опасности подстерегали скоростные машины и на земле. При взлете или посадке самолета его колеса начинали вилять из стороны в сторону. Это явление названное шимми, нередко вызывало катастрофы самолётов на аэродромах.

Построив математические модели указанных явлений, коллектив учёных, возглавляемый выдающимся математиком, тогда доктором физико - математических наук, позже академиком М. В. Келдышем, не только выявил причины флаттера и шимми, но и установил, как эти явления устранять. В результате наша авиация во время войны практически не имела разрушений самолетов по этой причине. Тем самым были спасены жизни мно­гих лётчиков и боевые машины вооруженных сил.

А профессору Н. Г. Четаеву удалось создать адекватную математическую модель, позволившую определить наилучшую крутизну нарезки каналов стволов орудий, что обеспечивало непереворачиваемость снарядов при полёте, оптимальную кучность стрельбы и другие положительные характеристики артиллерийских систем [16, с. 5].

Как отмечает Академик АН УССР Б.В. Гнеденко, интересная задача возникла у моряков в связи со стремлением увеличить вероятность попадания в цель за счёт искусственного рассеивания торпед при залпе. Полное решение этой задачи нашёл и довёл его до практического использования выдающийся математик, академик А.Н. Колмогоров [6, с. 13].

Позже его выводы были использованы для наивыгоднейшего рассеивания артиллерийских снарядов, что помогло повысить меткость стрельбы и тем самым увеличить эффективность действия артиллерии, которую заслуженно называли богом войны.

О работе отечественных математиков в помощь фронту по организации производственных процессов, направленных на повышение производительности труда и улучшение качества военной продукции будет рассказано при обсуждении стохастических моделей (§15).