§1. Математическое моделирование как метод познания
От ясности первого понятия
зависит успех всех знаний.
Н.И. Лобачевский
1.1. Понятие математической модели
Если говорить о познании, то наше время характеризуется проникновением математического образа мышления во все основные сферы.
Уже давно существуют такие научные и учебные дисциплины как математическая логика, математическая физика и математическая статистика и относительно недавно, во второй половине XX века, появились новые названия: «математическая экономика», «математическая биология», «математическая лингвистика»... И какую бы науку ни взять, теперь вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к ее наименованию эпитета «математическая» [22, с.5–11].
Теперь уже можно говорить о математизации не только науки, но и жизни, в которую все более активно входит словосочетание «математическая модель».
Дело в том, что при решении прикладных задач, т. е. таких, условия которых содержат нематематические понятия, математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели [24, с.12], причём термин «объект» понимается в самом широком смысле: это может быть и задача, и процесс, и ситуация, и т.п.
Для многих математика стала точным языком выражения мысли, и как литература и искусство, особым способом познания. По аналогии с художественными образами уместно говорить о «математических образах» или более точно и современно о «математических моделях» как форме отражения действительности. И, как, изучая художественные образы, мы познаем отраженную в них жизнь, так исследуя математические модели, мы познаем объективную реальность.
С понятием
математической модели по существу
знакомы все, и даже те, которые и не
пользовались этим термином [37, с.12]. Так,
если нужно определить площадь пола
комнаты прямоугольной формы, то для
выполнения такого задания пол считают
прямоугольником, измеряют его длину и
ширину, а затем перемножают полученные
числа. Вот этот прямоугольник
идеализированный, математический вместе
с его параметрами:
– длиной,
– шириной, формулой для вычисления
площади:
и есть
математическая модель рассматриваемой
задачи, а сам прямоугольник – геометрическая
модель пола.
На карте автомобильных дорог, которой пользуются водители, путь от Киева до Севастополя представляет ломаную линию, состоящую из прямолинейных отрезков. Это – графическая (геометрическая) модель дороги. Можно построить и математическую (аналитическую) модель той же дороги, представив ломаную линию в виде совокупности систем, состоящих из уравнений и неравенств. Но и эта модель лишь приближенно будет отображать реальную дорогу.
А вот как определяет обсуждаемое понятие академик А.Н. Тихонов: «Математическая модель – приближенное описание какого – либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики» (МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ. – М.: СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, 1982.– Т. 3, С. 574)