21.6. Об определении модуля
В
школьном учебнике « Алгебра и начала
анализа» под редакцией академика А.Н.
Колмогорова и в учебнике «Алгебра 8»,
изданном под научным руководством
академика А.Н. Тихонова, при определении
применяется фигурная скобка, соответствующая
знаку конъюнкции «
»
( «и»):
Такое определение полностью соответствует правилам математической логики.
Вместе
с ним за последние 20 лет появилось
несколько ошибочных публикаций, в
которых в указанном определении вместо
фигурной скобки употребляется квадратная,
заменяющая знак дизъюнкции «
»
( «или»).
В этой связи сделаем ссылку на статью: «О «кусочных» определениях функций» Ю.Е. Обжерина и А.Ф. Хрусталева (Прикладные задачи математики и механики. Материалы ХIII- МНК, Севастополь: Издательство СевНТУ, 2005 г.), на основе которой излагается этот пункт.
Из общепринятого определения модуля, записанного с использованием логических знаков конъюнкции « » ( «и»), соответствующей фигурной скобке, дизъюнкции « » ( «или»), соответствующей квадратной скобке и импликации:
↔
следует,
что множество точек плоскости, описываемое
высказывательной формой, стоящей справа
от знака «↔» эквивалентности, является
графиком функции
.
Действительно, множество точек Р
плоскости, определяемое высказывательной
формой
,
является
объединением всех точек открытой левой
полуплоскости и биссектрисы первого
координатного угла, включая начало
координат. Ведь любая конкретная точка
левой полуплоскости превращает при
любом фиксированном значении
высказывательную форму
в истинное тривиальным образом
высказывание, поскольку в этом случае
посылка
оказывается ложной, а точка
правой полуплоскости при
превращает указанную форму в истинное
высказывание только при
(рисунок 21.1).
Аналогично,
множество точек
плоскости, определяемое высказывательной
формой
(рисунок 2.2), является объединением всех
точек замкнутой правой полуплоскости
и биссектрисы второго координатного
угла, а пересечение
изображает график функции
.
Объединение
,
соответствующее замене фигурной скобки
квадратной в определении модуля,
изображает всю координатную плоскость
и никакой функции не определяет.
Отметим также, что именно фигурная скобка используется при соответствующей записи функции распределения случайной величины в учебниках по теории вероятностей и математической статистике.
Ещё укажем, что в определении функции, заданной на разных промежутках различными формулами, логическая связка «если» часто заменяется словами «при», «для», «где», запятой «,» или как - то иначе. Однако все такие записи следует понимать в том смысле, что они обозначают импликацию.
И в заключение приведем слова В. А. Успенского об уточнении языка из предисловия к книге [43]. «Уточнение научного (да и не только научного) языка является на самом деле важной проблемой, не получившей еще, к сожалению должного признания. Между тем эта проблема имеет не только научное, но совершенно практическое значение: ясно, сколь большую роль, например, играет точность языка в юридических документах… С уточнением языка тесно связано повышение культуры мышления, чего настоятельно требуют интересы науки… В объем понятия «высокая культура мышления» входит умение мыслить формально. Формальное мышление не следует смешивать с неумением мыслить неформально, содержательно; формальное мышление не нехватка чего – то, а особое искусство».
Рисунок 21.1 – Левая Рисунок 21.2 – Правая
полуплоскость полуплоскость
с правым лучом с левым лучом