§21. О математических моделях логических связок

21.1. Высказывания

Логические связки служат для образования сложных высказываний из простых. Понятие «высказывание» в логике является первичным, оно не определяется, а поясняется. Под высказыванием понимается повествовательное предложение, о котором можно сказать, разумно считать, что оно либо истинно, либо ложно. Какие-либо другие смысловые характеристики высказываний игнорируются. Высказывания будем обозначать большими латинскими буквами . Вот некоторые примеры:

{2 – четное число};

{6 – нечетное число};

{пять больше семи};

{Земля – планета солнечной системы};

{Луна – искусственный спутник Земли}.

Сразу видно, какие из приведенных высказываний являются истинными ( ) и, какие – ложными ( ). Будем также обозначать истинное высказывание 1, ложное 0, тогда каждое высказывание будет характеризоваться цифрами 1 и 0 , которые являются мерами истинности высказывания.

Высказывание

Его истинность

или

Высказывание

Его истинность 1 0 0 1 0

Если имеется несколько высказываний, то из них с помощью логических связок и отрицаний можно построить новые высказывания.

2. Отрицание

Из каждого высказывания можно построить его отрицание, т.е. высказывание «неверно, что имеет место » или, короче «не », что обозначается как « ». Итак, отрицанием высказывания называется новое высказывание, обозначаемое символом , которое истинно тогда и только тогда, когда ложно. Отрицание высказывания задается таблицей

		или	1	0
			0	1

Отсюда видно, что, каково бы ни было из двух высказываний , одно является истинным, а другое ложным.

2. Конъюнкция – математическая модель логической

связки «и»

Логическая связка, соответствующая союзу «и», называется конъюнкцией, обозначается символом и определяется таблицей, которая называется таблицей истинности.

				1	1	1
			или	1	0	0
				0	1	0
				0	0	0

Итак, составное высказывание « и », т.е. или (произведение высказываний , ) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.