20.2. Об измерениях диаметра Земли

Как известно, измерением называют нахождение значения некоторой величины на основе опытов, проводимых с помощью специальных приборов. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении приближенное значение величины находят непосредственно из опытных данных. Косвенными измерениями будут такие, при которых вычисляют значения искомых величин на основании их зависимостей от величин, подвергаемым прямым измерениям.

Ясно, что измерение диаметра Земли является косвенным. Впервые его приближенное значение было найдено во втором веке до н.э. Эратосфеном – древнегреческим математиком и астрономом [2, с.25 – 27], [26, с.14 – 15 ] из следующих соображений.

Рисунок 20.1 – Направления солнечных лучей 22 июня

в Сиене и Александрии

Путешествуя из Александрии в Сиену (теперь Асуан) люди замечали, что в полдень 22 июня в Сиене солнце освещает дно глубоких колодцев, а вертикально стоящие столбы не дают тени, тогда как в это время в Александрии предметы дают тень. Схема направления параллельных солнечных лучей, показанных на рисунке, такова: в полдень в Сиене (буква на схеме) они падают вертикально, а в Александрии ( буква на схеме) составляют с вертикалью угол градуса. Этот угол был приближенно измерен с помощью прибора, называемого скафисом, который представлял собой чашу в форме полусферы. В её нижней точке (на рисунке она совпадает с ) укреплялась равная радиусу полусферы игла, являющаяся частью оси симметрии чаши. По теореме «Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны» острый угол при вершине между иглой и солнечным лучом равен углу , где – центр Земли.

Итак, угол составляет 7,2 градуса, поэтому длина дуги

, где – диаметр Земли.

Значит, .

Следовательно, чтобы вычислить диаметр земли, достаточно было измерить расстояние между Александрией и Сиеной, которое оказалось равным 5,0 тыс. египетских стадий [нули, входящие в приближенные числа, записанные прописью тыс., млн. и т.п. – значащими не являются. Такой способ записи приближенных чисел, часто используется в газетах. В научных изданиях незначащие нули, как правило, заменяются множителем , где – целое число – положительное или отрицательное. В нашем случае:

5,0 тыс. = . Последняя форма записи, когда запятая поставлена после первой слева значащей цифры множимого (здесь после 5), называется стандартной и является предпочтительной). Так как одна стадия составляет 158,25 м, то м = =791250 м и м = 12,6 тыс. км (в ответе, который записан в соответствии с принципом Крылова – Брадиса, все значащие цифры, кроме последней, верны и лишь последняя, т.е. 6 – сомнительная).

Для более точного и надёжного определения острого угла отклонения параллельных лучей от вертикали, целесообразно проводить измерения несколькими приборами с разными радиусами или проще с помощью выставленных по отвесу разной высоты шестов, в основаниях каждого из которых перпендикулярно располагается пластина, например фанера. Длины шеста и тени на пластине, образующие фигуру в виде прямоугольного треугольника могут быть измерены и тогда отношение горизонтального катета к вертикальному будет равно . По найденному тангенсу определяется и угол.

Конечно, на листе бумаги в удобном масштабе можно построить прямоугольный треугольник, подобный теневому, и непосредственно измерить острый угол . Если результаты всех таких измерений усреднить, то с точностью до 2 – 3 значащих цифр получим значение угла .

Стоит отметить, что расстояние между Александрией и Сиеной также было определено с 2 – 3 значащими цифрами путём нахождения средних значений скорости и времени по числу дней, которые затрачивали караваны верблюдов на переход между указанными городами. По таким данным впервые и был определён диаметр Земли Эратосфеном Киренским. Это оригинальное косвенное измерение диаметра Земли и послужило основанием математической географии.

Позже исследователи много раз проводили измерения диаметра Земли [1, с.29 – 31]. Их результаты с точностью до трех значащих цифр совпадали с теми, которые были получены Эратосфеном. Правильность этих цифр подтвердили и наблюдения, проводимые с помощью искусственных спутников земли [26, с.15].

Задача. Какой поперечник должен иметь глобус, чтобы на нём мог быть изображён Эверест высотой около 1 мм в масштабе глобуса? [13, с.13].

Обозначим диаметр глобуса через у м, тогда, для определения неизвестного получим уравнение: , т.е (м).

(Заметим, что ответ:«Примерно 4,5 м», приведённый на с. 93 указанной книги, неверный).

Итак, даже самая высокая гора Земли – Эверест (Джомолунгма), достигающая км в масштабах указанного выше глобуса с поперечником 1,4 м, изобразится в виде прилипшей к нему песчинки диаметром около 1 мм..