17.2. Цепь событий как математическая модель

Все мы хорошо представляем материальную цепь, состоящую из одинаковых золотых звеньев. Очевидно, относительная частота, с которой встречается золотое звено в любом отрезке такой цепи, равна 1. Но цепь может быть и неоднородной, например состоящей из золотых и серебряных звеньев. Если будет указан способ образования цепи, в которой одному золотому звену (не крайнему) предшествует и за ним следует только одно серебряное звено, то такую цепь легко представить и по заданному золотому звену продолжить влево и вправо (сравните с задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка). Для такой цепи, содержащей чётное число звеньев, относительная частота как золотого, так и серебряного звена равна 0,5.

Нетрудно представить и цепь, образованную по такому правилу: за двумя золотыми звеньями следует одно серебряное, и перед серебряным звеном находятся два золотых.

Теперь поставим в соответствие золотому звену событие , а серебряному – . Тогда материальную цепь, состоящую из золотых и серебряных звеньев, можно моделировать последовательностью событий и . Цепи событий и , между звеньями которых существует самая тесная зависимость, как в указанных выше примерах, являются детерминированными. В противоположность им последовательность событий в схеме Бернулли доставляет нам пример цепи событий и , полученной в результате повторных независимых испытаний.

Примеры

1) Детерминированная цепь событий и :

Пробелов между тройками букв быть не должно. Они поставлены для удобства вычисления относительных частот и :

и .

2) Цепь событий и в схеме Бернулли при

и .

Разыграем события и , т.е. построим их последовательность, отрезок цепи этих событий при и . Для достижения большего эффекта, воспользуемся при статистическом моделировании рассматриваемой цепи событий вместо таблицы случайных чисел множеством последних цифр номеров телефонов, помещенных в телефонном справочнике города. Для этого берем справочник и, начиная с любой страницы, рассматриваем множество последних цифр номеров телефонов. У нас нет оснований, считать, что цифры 0, 1, 2,…, 9 встречаются в них не одинаково часто. Для нас эти числа (цифры) являются случайными. С их помощью мы получаем возможность имитировать реальную последовательность событий и . Для выполнения условий и достаточно при статистическом моделировании считать, что событие наступает, когда в указанной последовательности появляются цифры 3; 6; 9 и наступает событие во всех остальных случаях, кроме нуля, который в этих экспериментах исключается. Одна из таких последовательностей и , над которыми выписаны соответствующие случайные числа, такова:

6 1 9	5 6 5	3 5 3	2 5 1	8 9 7	2 2 2	1 9 8	8 6 5	1 6 6	5 8 5

Здесь и , так случайно частоты совпали с вероятностями! Не менее удивительно, что если соответствует цифрам 1;2;3 и – остальным, кроме нуля, то результат оказывается тем же.